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Universität/Hochschule J System von DG umschreiben
julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-07


Hallo zusammen,

ich habe folgendes System an Differentialgleichungen gegeben:
\[
x' = -x + 2y \\
y' = -2x -y
\] Dieses System soll ich als äquivalente DG 2. Ordnung für x(t) anschreiben, indem ich die DG für x nochmals nach t ableite.
Wenn ich das mache, erhalte ich ja (oder?)
\[
x'' = -x' + 2y'
\] Äquivalenz bedeutet hier doch, dass das System und die Gleichung die selbe(n) Funktion(en) als Lösung haben?
Diese Gleichung 2. Ordnung soll ich nun mittels dem Ansatz $x(t) = e^{\lambda t}$ lösen. Aber müsste ich da nicht noch irgendwie das $y'$ wegbekommen, damit ich diese Gleichung nur in $x(t)$ habe? Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier vorgehen soll, wäre froh wenn mir jemand helfen kann.

Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ersetze einmal \(y'\) noch mit Hilfe der zweiten DGL und die dann verbleibenden \(2y\) wieder mit Hilfe der ersten DGL. Damit bekommt man eine homogene DGL 2. Ordnung für \(x(t)\). Mit der verfährst du dann wie angegeben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Hallo,

danke für deine Antwort. Wenn ich so vorgehe, erhalte ich nun:
\[
x'' = -2x' - 5x
\] Und mit dem Exponentialansatz also
\[
x_1(t) = e^{(-1+2i)t} \\
x_2(t) = e^{(-1-2i)t}
\] $x_1(t)$ und $x_2(t)$ lösen die gesuchte Differentialgleichung. Wie kann ich nun aber einsehen, dass diese Funktion auch mein System an DG lösen? Dazu müsste ich das $y(t)$ ja auch irgendwie kennen, oder irre ich mich da?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich habe die gleiche DGL heraus (weiter habe ich jedoch nicht gerechnet). Wenn die Lösungen der charakteristischen Gleichung so wie hier (konjugiert) komplex sind, gibt es doch einen bekannte Darstellung der allgemeinen Lösung...

Mit dieser gehst du dann wieder in die erste DGL ein und erhältst die allgemeine Lösung für \(y(t)\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Hallo,

alles klar, dann werde ich das mal so probieren.
Danke nochmals!

Grüße



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