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Mechanik » Theoretische Mechanik » Federgeführtes Pendel im Lagrangeformalismus
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Universität/Hochschule Federgeführtes Pendel im Lagrangeformalismus
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-09


Guten Abend,

ich habe ein Problem bei der Bestimmung der Lagrangefunktion eines Pendels mit federgeführtem Aufhängepunkt.



Ich habe mir folgendes überlegt. Für die Ortsvektoren der betrachteten Massen
gilt

$$ \vec{r}_M=(x(t),0)^T \ \text{mit} \ x(t)=A \cos(\omega t)
$$
und

$$ \vec{r}_m=(x(t)+l \sin(\varphi), - l \cos(\varphi))^T \\
\dot{\vec{r}}_m=(\dot{x}+l \cos(\varphi) \dot{\varphi}, \sin(\varphi) \dot{\varphi})
$$
Ich wollte nun als generalisierte Koordinaten $q_1=x$ und $q_2=\varphi$ wählen.
Für die kinetische Energie des Federschwingers gilt

$$ T_{\text{Feder}}=\frac{M}{2} \dot{q}_1^2.
$$
Für die potentielle Energie des Federschwingers gilt

$$ V_{\text{Feder}}=\frac{k}{2} q^2_1.
$$
Für die kinetische Energie des Fadenpendels gilt

$$ T_{\text{Faden}}=\frac{m}{2} \dot{\vec{r}}^2_m \\
=\frac{m}{2} [\dot{q}^2_1+2 \dot{q}_1 \dot{q}_2 l \cos(q_2)
+\dot{q}^2_2 l^2 \cos^2(q_2)+\dot{q}^2_2 l^2 \sin^2(q_2)] \\
=\frac{m}{2} \dot{q}^2_1+\frac{m}{2} l^2 \dot{q}^2_2
+m l \dot{q}_2 \dot{q}_1 \cos(q_2).
$$
Für die potentielle Energie des Fadenpendels gilt

$$ V_{\text{Faden}}=- g m l \cos(q_2).
$$
Die Lagrange-Funktion ergibt sich zu $L=T-V$. Man hat $T=T_{\text{Feder}}+T_{\text{Pendel}}$. Aber gilt auch $V=V_{\text{Feder}}+V_{\text{Faden}}$?



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