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Schulmathematik » Funktionsuntersuchungen » Nachweis für degressive Abnahme bei exponentiellem Zerfall
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Schule J Nachweis für degressive Abnahme bei exponentiellem Zerfall
leaxyz
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  Themenstart: 2021-03-14

Hallo, es geht um die beigefügte Aufgabe. Wir nutzen - im Gegensatz zu der Vorgehensweise in unserem Schulbuch - bei Berechnungen zu exponentiellem Wachstum / Zerfall geometrische Folgen und keine Exponentialfunktionen. Für mich ist das eigentlich nicht besonders schlüssig, weil alle Wachstumsprozesse, die wir bisher betrachtet haben, ,,kontinuierliche'' Vorgänge waren, bei denen die betrachte Größe nicht nur für bestimmte diskrete Zeitpunkte einen Wert hat, aber unserer Lehrer will es so machen. Für mich ist im Zusammenhang mit a) unklar, wie man bei einer Folge überhaupt den Begriff der degressiven Abnahme definieren kann. Aus dem Unterricht kenne ich diesen Begriff nur von reellen Funktionen, wenn deren Graph streng monoton fällt und gleichzeitig linksgekrümmt ist. Wie man das bei Folgen machen soll, ist mir aber unklar, und durch Suchen im Internet konnte ich da auch keine gängigen Defnitionen finden. Ich würde mich freuen, wenn da jemand mehr weiß. Viele Grüße Lea https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54394_degressiv.png


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-14

Hallo und willkommen hier im Forum! Es spielt doch überhaupt keine Rolle, ob Folge oder Funktion: der Unterschied kommt doch nur dadurch zustande, dass man einen Term nur mit natürlichen Eingabewerten auswertet. Sprich: gehe genau so vor, wie du es von reellen Funktionen her kennst. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Stochastik und Kombinatorik' von Diophant]


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leaxyz
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-15

\quoteon(2021-03-14 15:23 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo und willkommen hier im Forum! Es spielt doch überhaupt keine Rolle, ob Folge oder Funktion: der Unterschied kommt doch nur dadurch zustande, dass man einen Term nur mit natürlichen Eingabewerten auswertet. \quoteoff Hallo Diophant, dankeschön für dein Willkommen! Mir ist klar, dass sich die Vorgehensweise bei der Betrachtung von geometrischen Folgen statt Exponentialfunktionen für viele typische Aufgabenstellungen nicht unterscheidet. Zum einen verstehe ich aber nicht, was diese unnötige Einschränkung des Definitionsbereichs soll. Wenn ich beispielsweise den exponentiellen Zerfall irgendeines radioaktiven Stoffes mithilfe einer geometrischen Folge und nicht mit einer Exponentialfunktion beschreibe, vermittelt das doch irgendwie einen zeitdiskreten Eindruck. Im Grunde so, als ob die beschriebene Größe für \(x \not \in \mathbb{N}\) gar nicht definiert ist. Mein eigentliches Problem besteht aber auch erstmal nur bei Aufgabenteil a). Ich habe ja in meinem ersten Beitrag geschildert, was ich unter eine degressiven Abnahme verstehe. Wenn wir Exponentialfunktionen nutzen würden, würde ich zeigen, dass der Graph der entsprechenden Funktion streng monoton fallend und linksgekrümmt ist. Was die Monotonie anbelangt, könnte ich das auch auf Folgen übertragen, aber bei der Krümmung bin ich da ratlos. Grüße Lea


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-03-15 17:48 - leaxyz in Beitrag No. 2) Mir ist klar, dass sich die Vorgehensweise bei der Betrachtung von geometrischen Folgen statt Exponentialfunktionen für viele typische Aufgabenstellungen nicht unterscheidet. Zum einen verstehe ich aber nicht, was diese unnötige Einschränkung des Definitionsbereichs soll. Wenn ich beispielsweise den exponentiellen Zerfall irgendeines radioaktiven Stoffes mithilfe einer geometrischen Folge und nicht mit einer Exponentialfunktion beschreibe, vermittelt das doch irgendwie einen zeitdiskreten Eindruck. Im Grunde so, als ob die beschriebene Größe für \(x \not \in \mathbb{N}\) gar nicht definiert ist. \quoteoff Du zerbrichst dir hier den Kopf über Dinge, die nicht wirklich wichtig sind, zumindest nicht zum Bearbeiten dieser konkreten Aufgabe. Dort wird die geschilderte Betrachtung jeweils wochenweise zusammengefasst und diese Wochen werden durchnummeriert. Egal, wie man eine Wachstumsfunktion hier jetzt definiert: man betrachtet sie nur an Stellen \(n\in\IN\). Wenn man natürlich auf so etwas bspw. eine Regressionsanalyse loslassen möchte, dann ist es vom mathematischen Standpunkt aus etwas unglücklich, \(\mathbb{D}=\IN\) vorzugeben. Aber wie gesagt: das ändert doch nichts an der Vorgehensweise. \quoteon(2021-03-15 17:48 - leaxyz in Beitrag No. 2) Mein eigentliches Problem besteht aber auch erstmal nur bei Aufgabenteil a). Ich habe ja in meinem ersten Beitrag geschildert, was ich unter eine degressiven Abnahme verstehe. Wenn wir Exponentialfunktionen nutzen würden, würde ich zeigen, dass der Graph der entsprechenden Funktion streng monoton fallend und linksgekrümmt ist. \quoteoff Das hätte aber dann mit der Fragestellung rein überhaupt nichts zu tun. Eine degressive Abnahme ist ja auf mathematisch nichts anderes als eine exponentielle Abnahme. Du sollst also entweder per analytischer Rechnung, oder per Regressionsmodell einfach den durchchnittlichen bzw. geschätzten Faktor ermitteln, um den diese Allergien pro Woche abnehmen. Jetzt kommt es darauf an, auf welchem Weg diese Rechnung geschehen soll. Ist das hier eine Aufgabe aus der Schule, und die Regression passiert mittels geeignetem TR? Dann nimmst du einfach die gegebenen Datenpaare und fütterst deinen Rechner damit (und wählst natürlich das geeignete Regressionsmodell). Der spuckt dann eine Exponentialfunktion aus, mit der du diesen Faktor berechnen kannst. Ansonsten müsstest du hier mal noch erläutern, in welchem Kontext diese Aufgabe gestellt wurde. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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leaxyz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-20

\quoteon(2021-03-15 18:03 - Diophant in Beitrag No. 3) Eine degressive Abnahme ist ja auf mathematisch nichts anderes als eine exponentielle Abnahme. \quoteoff Okay, genau das war mir nicht klar. \quoteon(2021-03-15 18:03 - Diophant in


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