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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Differenziation/Integration von Funktionenreihen, um Grenzwert aufzufinden
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Universität/Hochschule Differenziation/Integration von Funktionenreihen, um Grenzwert aufzufinden
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-16


Hallo zusammen,

Sei $S_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion für alle $n\in\mathbb{N}$ und $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Funktionenreihe, die zumindest für einen Punkt $c\in[a,b]$ konvergiert. Außerdem nehmen wir an, dass die Funktionenreihe der Ableitungen von $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$, also $(S'_n)_{n\in\mathbb{N}}$, gleichmäßig konvergiert.

Dann gibt es ja den Satz, dass dann $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ auch gleichmäßig konvergiert, $\lim\limits_{n\to\infty}S'_n$ differenzierbar ist und $\lim\limits_{n\to\infty}S'_n= (\lim\limits_{n\to\infty}S_n)'$ gilt.

Angenommen wir möchten nun eine geschlossene Form für die Grenzfunktion $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ finden, aber die Partialsummen $S_n$ sind etwas komplizierter und man sieht nicht so einfach welchen Ausdruck $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ annimmt. Wir nehmen jetzt weiter an, dass wir jedoch wissen welchen geschlossenen Ausdruck $\lim\limits_{n\to\infty}S'_n$ annimmt und wir diesen recht einfach aufleiten können. Dann käme man ja so theoretisch auf den geschlossenen Ausdruck von $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$.

Was ich aber jetzt nicht verstehe ist, dass ja die Stammfunktion nicht eindeutig ist und wir daher ja gar keinen eindeutigen Grenzwert bzw. Grenzfunktion angeben können?! Ist die Strategie also allgemein nicht anwendbar? Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

Viele Grüße
WagW



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-16


Hallo WagW,
ich hätte jetzt gesagt, dass dafür punktweise Konvergenz und unendliche Differenzierbarkeit reicht, aber vielleicht täusche ich mich. Das sollen die Profis beantworten. 🙂
Tatsächlich ist diese Methode relativ gängig, um einige Integrale numerisch zu berechnen, wie zum Beispiel der Integralsinus $\int\frac{\sin x}x\mathrm dx$. Wenn zwei Funktionen gleich sind, dann können sich ihre Stammfunktionen nach der Integration um eine Konstante unterscheiden, das ist richtig. Aber es steht dir dann ja frei, wenn Du Gleichheit herstellen möchtest, die Integrationskonstante passend zu wählen. In obigem Beispiel gilt:
$$\frac{\sin x}x=\sum_{k=0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k}$$Nach beidseitiger Integration gilt offenkundig:
$$\mathrm{Si}(x)=c+\sum_{k=0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}x^{2k+1}$$Da der Integralsinus aber nun einmal so definiert ist, dass $\mathrm{Si}(0)=0$ ist, macht es hier eben Sinn, $c=0$ zu setzen, denn wenn die Stammfunktionen sich nur um eine Konstante unterscheiden, reicht es, die Konstante so zu wählen, dass die Stammfunktionen an einem Punkt übereinstimmen (z.B., aber nicht notwendigerweise, an der Entwicklungsstelle), damit sie überall übereinstimmen.

Ciao,

Thomas



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