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Universität/Hochschule Fourier mit dem Sinus als Betrag
marathon
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  Themenstart: 2021-03-22

https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_fourier_aufgabe_matroid.JPG \ hallo die ersten Schritte dieser Aufgabe, die immer noch dem Fourier Komplex als Ganzem zuzurechnen ist, verstehe ich doch soweit noch recht ordentlich der Sinus wird über die Eulersche Darstellung als . (e^x -e^(-x))/2 ausgedrückt wobei hier wenn ich ehrlich bin meine ersten Unsicherheiten schon beginnen die Formel bezieht sich die hin editierte Formel (e^x -e^(-x))/2 auf den normalen Sinus oder auf den Komplexen Sinus und die geteilt durch 2 die fehlt ist es diese 2 die vor dem Integral bei 1/\pi auftaucht und daraus 1/\(2\pi) erzeugt. Gut dann gleich weiter zur nächsten Teilfrage. Das ein multiplizieren von (e^x -e^(-x)) mit e^(-2kix) leuchtet mir auch ein es entsteht nach der Vorgabe zuerst e^x mit e^(-2kix) ergibt e^(-i(2k-1)x) und dannach das Gleiche mit -e^(-x) ergibt -e^(i(2k+1)x) gut wenn ich dann um es mir selber zu verdeutlichen jeweils integriere bedeutet dies ja bei einer e Funktion den "Kern" stehen lassen und durch die Innere Ableitung teilen die erbringt dann das sichtbare e^(-i(2k-1)x)/(-i(2k-1)) und anderseits -e^(-i(2k+1)x)/(-i(2k+1)) bis dahin ist es erweiterte Routine und dann zieht es zumindest für mich doch etwas an wenn ich zuerst die Untergrenze einsetze also die 0 die ja abgezogen wird entsteht da e^0 ja =1 bei e^(-i(2k-1)x)/(-i(2k-1)) = -1/(-i(2k-1)) und bei -e^(-i(2k+1)x)/(-i(2k+1)) = -1/(-i(2k+1)) dieser Teil der Berechnung die sich auf die Untergrenze mit der O als Wert bezieht ergibt nach Erweiterung mit dem Hauptnenner und über das dritte Binom offenbar das gezeigte -1/\pi*1/(k^2-1/4) hier wurde bei -1/\pi*1/(4k^2-1) die Klammer durch 4 geteilt nun zu dem für mich komplizierteren Teil mit der Obergrenze in diesem Fall \pi es gilt also zu untersuchen -e^(-i(2k-1)\pi)/(-i(2k-1) und -e^(-i(2k+1)\pi)/(-i(2k+1)) ab diesem Punkt komme ich dann doch wieder ins Schleudern kann es sein das sich die beiden Teile aufheben wahrscheinlich ist dem so aber wie sehen die einzelnen Rechenschritte aus bedeutet ( 2k-1 ) bzw (2k+1) das nur ungerade Werte für p erreicht werden und mit bezug auf den Cosinus würde dies heißen Werte entweder 1 oder -1 oder kommt bei der genauen Aufschlüsselung hier die Euler Identität e^(i*pi) = -1 ins Spiel für Impulse, die mir helfen würden die Aufgabe eher vollständig zu begreifen wäre ich sehr dankbar... Euer markus hoffe meine Darstellung war nicht all zu konfus


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Hans-Juergen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-22

Doch, sie ist konfus. Ich komme schon bei Deinem schlechten Deutsch, fast ohne Punkt und Komma, "ins Schleudern".


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Sismet
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \) Hey, ich versuche mal deine Fragen zu beantworten. Ich hab den 2. Teil deiner Frage aber nicht wirklich verstanden. Zunächst: $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$. Die Formel gilt für alle $x \in \IC$ und damit insbesondere auch für $x \in \IR$ Das geteilt durch $2\pi i$ ist wie du richtig erkannt hast der Faktor in Nenner vor dem Integral. Bei dem multiplizieren mit $-e^{-ix}$ fehlt in deinem Ergebnis ein - im Exponenten. Nun zu dem letzten Teil, dem Auswerten der Stammfunktionen an den stellen 0 und $\pi$. Ich würde das nich trennen sondern gemeinsam lösen. Die Eulersche Formel ist da eine gute Hilfe. Setzt man die Grenzen ein erhält man: $\frac{e^{-i(2k-1)\pi}}{(-i(2k-1)}-\frac{e^{-i(2k-1)*0}}{(-i(2k-1)}-\frac{e^{-i(2k+1)\pi}}{(-i(2k+1)}+\frac{e^{-i(2k+1)*0}}{(-i(2k+1)}$ $=\frac{-1}{(-i(2k-1)}-\frac{1}{(-i(2k-1)}-\frac{-1}{(-i(2k+1)}+\frac{1}{(-i(2k+1)}$ $=\frac{-2}{(-i(2k-1)}+\frac{2}{(-i(2k+1)}$ Jetzt erweiterst du und verwendest die 3. Binomische Formel und erhältst: $\frac{4ki+2i-4ki+2i}{-(4k^2-1)}=\frac{4i}{4k^2-1}$ Jetzt teilst du noch durch 4 und kürzt das i mit dem i im Nenner des Faktor und erhältst das Ergebnis. Ich hoffe ich hab deine Frage richtig verstanden und dir das richtige erklärt. Grüße [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-22

Hallo, ich finde es interessant, dass die Schwierigkeiten der Frage für jeden Beteiligten woanders liegen. 😉 Für mich war der erste Schritt (eigentlich sind es mehrere) nicht sofort offensichtlich. Es wird argumentiert, dass die Koeffizienten mit ungeraden Indizes den Wert Null haben. Dann werden kommentarlos die obere Integrationsgrenze auf den Wert $\pi$ halbiert und die Betragsstriche weggelassen. Es lohnt sich darüber nachzudenken, was hier gemacht wurde. Servus, Roland


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marathon
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23

\ bedanke mich zuerst für die tolle Hilfestellung danke Sismet vieles leuchtet mir auch wirklich ein. Nur die Folgen die das Einsetzen von pi, als gegebene Obergrenze mit sich bringt um es so zu formulieren, siehe die weiteren Ausführungen, sind mir noch nicht 100% klar -e^(-i(2k-1)\pi)/(-i(2k-1) das Einsetzen von\pi und das resultierende -1/(-i(2k-1) bereitet mir nach wie vor Kopfschmerzen das bei -e^(-i(2k-1)\0)/(-i(2k-1) die 1 im Nenner erzeugt wird, ist logisch ebenso die Folge -1/(-i(2k-1)) doch zurück zu der Teilfrage kann hier der Umweg über die trigonometrische Form gewählt werden...mit cos((2k-1)\pi)+isin ((2k-1)\pi) mit der weiteren Vermutung, dass alle sinus Elemente rausfliegen da nur ungerade ganze Zahlen durch die Vorschrift (2k-1) entstehen können und für den Cosinus Teil bei beliebigen k (solange Element von N) immer -1 entsteht. oder ist dieser Gedankenansatz eine einzige Häresie respektive wird wahlweise über die Identität e^i\pi 0 -1 im Folgenden elaboriert.... bin weiter auf sozial eingestellte Hilfe angewiesen und bitte die Unbeholfenheit meiner dilettantischen Fragestellung nachzusehen. Im Voraus 1000 Dank für die gezeigte Geduld euer Markus


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Sismet
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \) Hey, mir ist aufgefallen, das ich beim einsetzten einen kleinen Tippfehler hatte, der ist jetzt korrigiert (es standen in den Summanden immer ein - im Zähler, das da nicht hingehört hat). Zu deiner Frage: Es gilt: $e^{(2k+1)\pi i}=e^{2k\pi i+\pi i}=e^{2k\pi i}e^{\pi i}=1*(-1)=-1$ und zwar für alle $k \in \IZ$. Das kann man natürlich auch über $e^{(2k+1)\pi i}=\cos((2k+1)\pi)+i\sin((2k+1)\pi)$ lösen indem man sieht das der Sinus dort verschwindet und Cosinus gerade gleich -1 ist. Grüße Sismet\(\endgroup\)


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marathon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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