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Kein bestimmter Bereich */*/*** Sternzacken-Winkelsummen
Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-05


Die Summe der inneren Dreieckswinkel beträgt 180° bzw \(\pi\) Radiane:  diese Aussage soll auf unregelmäßige Sternzackenwinkel verallgemeinert werden; für fünfzackige Sterne lässt sich sogar eine Lösung auf Youtube finden (Spoiler).


Es seien  \(0,\ldots,n\!-\!1\)  die im Uhrzeigersinn geordneten Eckpunkte eines beliebigen konvexen n-Ecks. Wenn wir nun für vorgegebenes  \(1\le k\le n\!/\!2\)  jede Ecke \(i\) mit Ecke \((i\!+\!k)\%n\)  verbinden (\(\%\) steht für modulus), dann erhalten wir einen n-zackigen Stern (Fälle mit  \(k\in\{1,n\!/\!2\}\)  können als entartete Sterne aufgefasst werden). Der Magier Ambrosius hat geweissagt, dass die Summe der inneren Zackenwinkel eines auch unregelmäßigen Sterns nur von  \(n,k\)  abhängt (aber ihr müsst ihm nicht unbedingt glauben).

(* 1)
Finde eine Formel für die Summe der Sternzackenwinkel bei  \(n=5,6,7\)  und beliebigem  \(1\le k\le n/2\).
(* 2)
Beweise deine Formel für die obigen Fälle (sollte auch ein Zehntklässler leicht nachvollziehen können).
(*** 3)
Entscheide, ob deine Formel auch für \(n>7\) gültig ist (hierfür kenne ich selber keinen Beweis)


Lösungen dürfen direkt gepostet werden, aber *BITTE VERDECKT*.


-----------------
/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen. (Kol.2:9)



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-05


Ich behaupte zunächst gemäß  (1)  folgende Formel
für die Außenwinkel- bzw. Zackeninnenwinkelsumme  \(\sigma *\) ,
und zwar für sämtliche  \(n\geq3\)  und  \(1\,\leq\,k\,\leq\,\frac{n}{2}\) :

\(\sigma *(n;k)\:=\:180°\,\cdot\,(n-2\cdot k)\)
Falls ich als Nicht-Zehntklässler einen Beweis zustande bekomme,
dann wird der allgemein gehalten sein für alle Fälle  \(n\geq3\)  ...


-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-05


Hallo,

für \(k\mid n\) lässt sich ein kurzer Beweis finden, wenn man die Innenwinkelsumme eines \(n\)-gons kennt.

Der Stern besteht in diesem Fall aus \(k\) \(\frac nk\)-gons, die paarweise keine gemeinsame Ecke haben. Die Summe der Winkel in den Zacken ist also
\[
k\cdot \left(\frac nk-2\right)\cdot 180^\circ = (n-2k)\cdot 180^\circ.
\]




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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-05


In meinem ersten Beweis für \(n=7\) war mir ein Fehler unterlaufen, der nun repariert ist (falls sich jemand über einen gelöschten Nachtrag wundert).

Ich glaube fest, dass die Formel von cramilu und ochen für beliebiges \(n,k\) gilt. Die Schwierigkeit meines Ansatzes besteht darin, dass ein Beweis für vorgegebenes \(n,k\) einerseits sehr leicht zu verstehen, anderseits aber schwer zu verallgemeinern ist.

Falls die vorausgesetzte Formel richtig ist, kann man sich auf die Fälle beschränken, wo \(n,k\) keinen gemeinsamen Teiler haben,  also \(\rm{ggT}(n,k)\!=\!1\).



Alle meine bisherigen Beweise beruhen darauf, die Summe der Sternzackenwinkel so zu berechnen, dass ich eine Menge von vorzeichenbesetzten Dreiecken finde, dessen Innenwinkel dieselbe Summe ergeben, wenn man sie je nach Vorzeichen des Dreiecks addiert oder subtrahiert. So ist es nicht verwunderlich, dass die Sternzackenwinkel zusammen immer ein Vielfaches von \(\pi\) ergeben. Die Seiten der betrachteten Dreiecke sind allesamt Strecken zwischen Sternzackenspitzen.



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 12:06


Nachdem sich in diesem Thema letztlich nicht allzuviel getan hat, darf man von hier ab Lösungsbeiträge auch unverdeckt posten. Dabei dürften die Teilergebnisse in Geometrie:'Innenwinkelsummen' sicher hilfreich sein.



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Goswin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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