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Lineare Algebra » Vektorräume » Allgemeiner Basiswechsel
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Universität/Hochschule Allgemeiner Basiswechsel
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-06 11:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Wobei es jetzt erstmal um a) geht.
Unabhängig von dieser Aufgabe kenne ich folgende Informationen bezüglich Basis und Basiswechsel:
\[(v)_E=C\cdot (v)_C\] \[(v)_B=B^{-1}\cdot (v)_E\] Legende:
\((v)_C\)...ist der Vektor in der Basis C

\(C\)...ist die Basis C

\((v)_E\)...ist der Vektor in der Standardbasis E

\(B^{-1}\)...ist die inverse Matrix der Basis B

\((v)_B\)...ist der Vektor in der Basis B
 
Wenn ich das nun auf die Aufgabe a) übertragen möchte, denke ich schaut das wie folgt aus:
\[(v)_E=T\cdot (v)_B=T\cdot v\] Wobei hier gilt, dass \(\ds (v)_B=v\), wenn ich mich nicht täusche.

Ist das soweit richtig?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-06 11:30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

das ist zwar soweit richtig, aber nicht umsonst soll man ja dazu auch beschreiben, wie die Matrix \(T\) zustandekommt.

Ohne diese Ausage ist eine Gleichung wie

\[v_E=T\cdot v_B\]
wenig bis überhaupt nicht aussagekräftig. Denn sie besagt ja dann nur, dass es eine lineare Abbildung gibt, welche eben diese Transformation leistet, nicht aber, wie diese Abbildung genau aussieht.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 14:35

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, ich weiß nicht so recht was ich machen soll.
Zuerst mal zu dieser Frage:

Was soll man denn da bitteschön hinschreiben...

Der resultierende Vektor ist ja die Basis multipliziert mit den Koordinaten, sprich das wäre hier:
\[\vec{v}=B\cdot v\]
Ist das soweit richtig und gefragt?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-06 14:47

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo,

wenn B eine Basis ist, dann besteht diese Basis aus Vektoren \(\lbrace b_1,b_2,\dotsc b_n\rbrace\). Dann bedeutet die Notation (wie üblich)

\[v=\left(v_1,v_2,\dotsc,v_n\right)^T=\sum_{i=1}^n v_ib_i\]
Die Darstellung steht also für eine Linearkombination der Basisvektoren.

Das wäre hier so sinngemäß die Antwort.

Und diese Aufgabe ist didaktisch ganz geschickt aufgebaut. Denn diese Antwort hat schon viel zu tun mit der nächsten Aufforderung: beschreiben Sie die Spalten von \(T\)...


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 14:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, das ergibt doch aber keinen Sinn, denn wenn man deine Summe ausschreibt, kommt man auf:
\[v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)^T=v_1\cdot b_1+v_2\cdot b_2+\dots +v_n\cdot b_n\] Sprich da würde ja dann da stehen, dass \(v\) aus u.a. \(v_1\) aber auch \(v_1\cdot b_1\) besteht, das ergibt doch keinen Sinn.
Sind \(v_1,v_2,\dots,v_n\) die Koordinaten?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-06 15:00

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo,

natürlich sind die \(v_i\) Koordinaten. Bei der Standardbasis funktioniert es doch ganz genauso:

Der Vektor \(v=(1,2,3)^T\) steht dann für

\[v=(1,2,3)^T=1\cdot\vec{e_1}+2\cdot\vec{e_2}+3\cdot\vec{e_3}=1\cdot\bpm 1\\0\\0\epm+2\cdot\bpm 0\\1\\0\epm+3\cdot\bpm 0\\0\\1\epm\]

Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 15:43

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Ja, das stimmt aber sei die Basis wie folgt definiert:
\[\{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\}\] Und es sei der Vektor in folgender Form gegeben:
\[\begin{pmatrix}9\\5\end{pmatrix}\] Dann sind die Koordinaten trotzdem nicht \(9\) und \(5\) sondern \(2\) und \(3\), denn:
\[2\cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+3\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\] Daher die Frage...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-06 15:47

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

der Vektor oben besitzt

- die Koordinaten \((9,5)^T\) bezüglich der Standardbasis und

- die Koordinaten \((2,3)^T\) bzgl. der Basis \(\lbrace \bpm 3\\1\epm,\bpm 1\\1\epm\rbrace\).

Du musst also immer aufpassen, auf welche Basis sich Koordinaten beziehen.

(Ggf. muss man es dazuschreiben.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 18:21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Ja schon, aber dann würde ja das hier:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)2021-04-06 14:47 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
\[v=\left(v_1,v_2,\dotsc,v_n\right)^T=\sum_{i=1}^n v_ib_i\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Nur dann erlaub sein, wenn es sich auf die Standardbasis bezieht, wirklich nur dann. Und hier bezieht es sich nicht auf die Standardbasis, sondern auf die Basis B, oder nicht?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-06 18:26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

das gilt für jede Basis.

Ich glaube, du klebst da zu sehr an der Vorstellung, dass ein Tupel von Zahlen im n-dimensionalen Koordinatensystem für einen festen Ort steht.

Dem ist aber nicht so. Der Ort ist fest, aber seine Darstellung durch Koordinaten hängt von der gewählten Basis ab. Und das verhält sich bei Vektoren generell so (denn Punkte im \(\IR^n\) sind nichts anderes als Vektoren).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 18:33


Ok, und bezüglich der Aufforderung "Beschreiben Sie die Spalten von T":
Ich brauche jetzt eine Matrix T, welche mir aus den Koordinaten bezüglich der Basis B, Koordinaten bezüglich der Standardbasis macht, ist das soweit richtig?

Liebe Grüße
Spedex



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-06 18:37


Hallo,

2021-04-06 18:33 - Spedex in Beitrag No. 10 schreibt:
Ok, und bezüglich der Aufforderung "Beschreiben Sie die Spalten von T":
Ich brauche jetzt eine Matrix T, welche mir aus den Koordinaten bezüglich der Basis B, Koordinaten bezüglich der Standardbasis macht, ist das soweit richtig?

Ja, das ist richtig. Erinnere dich an diesen Thread, dort habe ich exakt das angewendet, was hier gefragt ist (um die Abbildungsmatrix der Spiegelung auszurechnen).


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 19:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, welche Matrix meinst du?
Es ist einerseits die Rede von dieser Matrix:
\[S'=\bpm 1&0&0  \\ 0&1&0  \\ 0&0&-1 \epm\] Anderseits ist die Rede von dieser Matrix:
\[T=\bpm 0&1&1 \\ 1&0&-2 \\ 2&-1&1 \epm\] Blöd, dass ich weder verstehe, wie du auf die eine Matrix gekommen bist, noch, wie du auf die andere Matrix gekommen bist.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-06 19:32

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-06 19:24 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Blöd, dass ich weder verstehe, wie du auf die eine Matrix gekommen bist, noch, wie du auf die andere Matrix gekommen bist.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Du hättest ja nachfragen können wie angekündigt. ;-)

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-06 19:24 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Hm, welche Matrix meinst du?
Es ist einerseits die Rede von dieser Matrix:
\[S'=\bpm 1&0&0  \\ 0&1&0  \\ 0&0&-1 \epm\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Nein, das war die Abbildungsmatrix der Spiegelung innerhalb der von mir gewählten Basis. Wie sie zustande kommt, würde ich dich bitten, im anderen Thread zu klären (falls du den noch weiterführen möchtest).

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-06 19:24 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Anderseits ist die Rede von dieser Matrix:
\[T=\bpm 0&1&1 \\ 1&0&-2 \\ 2&-1&1 \epm\] Blöd, dass ich weder verstehe, wie du auf die eine Matrix gekommen bist, noch, wie du auf die andere Matrix gekommen bist.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Vergleiche einmal die Spalten von \(T\) mit den von mir gewählten Punkten bzw. der Basis, die ich mir daraus gebastelt habe.

Dann mache dir zwei Dinge klar:

- von wo nach wo transformiert diese Matrix (also von welcher Basis in welche)?
- bzgl. welcher Basis sind diese Basisvektoren dargestellt.

Wenn du da selbst draufkommst: dann hast du die Antwort auf die letzte Frage hier aus Teil a).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 19:47


Hm, du bezeichnest die Matrix T als Basiswechselmatrix aber es ist einfach nur eine Art Basismatrix, oder nicht?
Es stellt also einfach nur die Basisvektoren da.
Bezeichnen wir diese Basis mal als Basis B.
2021-04-06 19:32 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
- von wo nach wo transformiert diese Matrix (also von welcher Basis in welche)?

Zwei Theorien:
1) Diese Basis transformiert von der Basis B in die Standardbasis.
2) Diese Basis transformiert von der Standardbasis in die Basis B.

2021-04-06 19:32 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
- bzgl. welcher Basis sind diese Basisvektoren dargestellt.

Auch hier zwei Theorien:
1) Basis B
2) Standardbasis

Zu ersten Frage: Ich denke, meine zweite Theorie ist richtig. Ich multipliziere die Basiswechselmatrix mit der Standardbasis und erhalte die Basis B, oder irgendwie so...

Zur zweiten Frage: Ich denke, meine zweite Theorie ist richtig, irgendwie scheint mir das mit der Begründung von der ersten Frage zusammenzuhängen.

Ich habe eine Wahrscheinlichkeit von 25 % beider richtig erraten zu haben.
Aber wissen wäre mir lieber als raten...

Liebe Grüße
Spedex



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-06 20:05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo,

du sollst ja auch nicht raten. Ist dir denn nicht aufgefallen, dass die Spalten der Matrix \(T\) genau die drei verwendeten Punkte sind, und zwar dargestellt bezüglich der Standardbasis?

Von dieser Erkenntnis ist es nicht mehr weit zu einer weiteren Erkenntnis: die Multiplikation \(T\cdot v_B\) transformiert einen Vektor, der bzgl. der Basis B dargestellt ist, in die Darstellung bzgl. der Standardbasis.

Die Vorgehensweise in dem anderen Thread war die folgende (erinnere dich: Kompositionen von Abbildungen realisiert man, indem man einen Vektor oder eine Abbildungsmatrix von links mit der neuen Abbildungsmatrix multipliziert):

- Ich verlasse die Standardbasis und wechsle in die von mir gewählte. Das leistet die Matrix \(T^{-1}\).
- Nun führe ich die Spiegelung durch. Deren Matrix \(S'\) ist in der anderen Basis aus den im anderen Thread genannten Gründen besonders einfach zu finden.
- Ich transformiere das Bild der Spiegelung wieder zurück in die Standardbasis. Das leistet die Matrix \(T\) und das ergibt dann die gesuchte Abbildungsmatrix der Spiegelung bzgl. der Standardbasis.


Du solltest aber, wenn das bei euch Thema ist, nun wirklich die ganze Materie rund um Vektorräume, Basen und lineare Abbildungen einmal anhand eines Fachbuchs gründlich studieren. Der Stoff ist für 'learning by doing' m.A. um ein paar Hausnummern zu anspruchsvoll (und zu wichtig!).


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06 20:22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)2021-04-06 20:05 - Diophant in Beitrag No. 15 schreibt:
Du solltest aber, wenn das bei euch Thema ist, nun wirklich die ganze Materie rund um Vektorräume, Basen und lineare Abbildungen einmal anhand eines Fachbuchs gründlich studieren. Der Stoff ist für 'learning by doing' m.A. um ein paar Hausnummern zu anspruchsvoll (und zu wichtig!).
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ja, tatsächlich gilt folgendes:
- Ich will es per "learning by doing" machen.
- Es ist zu anspruchsvoll um es per "learning by doing" zu machen
- Ich bin zu faul ein Buch zu lesen. Ich wünschte, ich konnte die Informationen in Sachbüchern einfach so in mich "hineinziehen"...

Zu der Aufgabe zurück, die du verlinkt hast:
Du bildest die Basis B mit der Basiswechselmatrix T und der Standardbasis, das habe ich soweit richtig verstanden, oder?

Sprich es gilt sozusagen:
\[B=T\cdot E\] Mit \(E\) gleich der Standardbasis.
Heißt bei uns muss gelten:
\[E=T^{-1}\cdot B\] Somit kommt man also auf die Standardbasis, ist das soweit richtig?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-06 20:36

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-06 20:22 - Spedex in Beitrag No. 16 schreibt:
Zu der Aufgabe zurück, die du verlinkt hast:
Du bildest die Basis B mit der Basiswechselmatrix T und der Standardbasis, das habe ich soweit richtig verstanden, oder?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Nein, das hast du völlig falsch verstanden. Ich versichere mich dort der Tatsache, dass die drei gewählten Punkte linear unabhängig sind und rufe sie zur Basis aus - fertig.

Dann bilde ich aus diesen drei Punkten (in ihrer Darstellung bzgl. der Standardbasis) eine Matrix \(T\). Diese Matrix transformiert aus der Basis B in die Standardbasis zurück.

Wenn schon kein Lehrbuch, dann können wir es ja einmal mit der Wikipedia versuchen.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-06 20:22 - Spedex in Beitrag No. 16 schreibt:
Sprich es gilt sozusagen:
\[B=T\cdot E\] Mit \(E\) gleich der Standardbasis.
Heißt bei uns muss gelten:
\[E=T^{-1}\cdot B\] Somit kommt man also auf die Standardbasis, ist das soweit richtig?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Das ergibt so keinen Sinn. Es ist hier weder klar, was B ist noch was E ist. Die Gleichungen stimmen für den Fall wenn

- \(E\) die Einheitsmatrix bzgl. der Basis B und
- \(B\) aus den Darstellungen der Basisvektoren von B bzgl. der Standardbasis gebildet ist.

Aber das führt hier m.A. nach nicht weiter.

Probiere es doch einmal mit deinem Beispiel aus Beitrag #6 aus, da hast du es dann nur mit 2x2 Matrizen zu tun.

Stelle also einmal eine Matrix auf, die den Vektor dort in seiner Darstellung bzgl. der Basis B in die bzgl. der Standardbasis transformiert. Und dann vergleiche deine Basis B mit dieser Matrix...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, ok.
Also ich habe die Basis B, welche wie folgt definiert ist:
\[B:\quad \{\bpm 3\\1 \epm,\bpm 1\\1 \epm\}\] Der Vektor hat bezüglich der Basis B die Koordinaten:
\[\bpm 2\\3\epm \]
Nun möchte ich die Darstellung des Vektors / die Koordinaten des Vektors bezüglich der Standardbasis formulieren.
Das mache ich durch geeignete Matrixmultiplikation:
\[\bpm3&&1\\1&&1\epm\cdot \bpm2\\3\epm=\bpm 9\\5\epm\]
Und das ist dann der Vektor mit Koordinaten, welche auf die Standardbasis bezogen sind.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)2021-04-06 20:36 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
Und dann vergleiche deine Basis B mit dieser Matrix...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Die Wechselmatrix entsprich also zusagen meiner Basis B, wenn ich mich nicht täusche.

Wäre die Antwort auf die Aufgabenstellung "Beschreiben Sie die Spalten von T", also:
Die Spalten der Wechselmatrix T entsprechen den Basisvektoren der Basis B.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-07 13:30


Hallo,

2021-04-07 13:22 - Spedex in Beitrag No. 18 schreibt:
Wäre die Antwort auf die Aufgabenstellung "Beschreiben Sie die Spalten von T", also:
Die Spalten der Wechselmatrix T entsprechen den Basisvektoren der Basis B.

Im Prinzip ja. Man könnte (sicherheitshalber) noch dazusagen, dass es um die Basis B in ihrer Darstellung bzgl. der Standardbasis geht. Das ist zwar eigentlich unmittelbar klar, aber sicher ist sicher.

Verstehst du damit jetzt meine Vorgehensweise in der anderen Aufgabe mit der Spiegelungsmatrix?


Gruß, Diophant



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reik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2021-04-07 16:49


Link zum Topic [Allgemeiner Basiswechsel]

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-06 20:22 - Spedex in Beitrag No. 16 schreibt:

Ja, tatsächlich gilt folgendes:
- Ich will es per "learning by doing" machen.
- Es ist zu anspruchsvoll um es per "learning by doing" zu machen
- Ich bin zu faul ein Buch zu lesen. Ich wünschte, ich konnte die Informationen in Sachbüchern einfach so in mich "hineinziehen"...
\(\endgroup\)

Vielleicht helfen Dir diese Visualisierungen von 3b1b auf YouTube, um etwas mehr Intuition für die abstrakt wirkenden algebraischen Manipulationen in der Linearen Algebra zu erlangen!

Vor allem folgender Gedankengang:

$A\vec v = A(v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2) = v_1 A(\vec e_1) + v_2 A(\vec e_2) = \begin{pmatrix}A(\vec e_1) && A(\vec e_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}$, d.h. die Spalten einer Matrix $A$ sind die transformierten Basisvektoren bezogen auf die ursprüngliche Basis. Die Unterscheidung vom geometrischen Objekt Vektor eines Vektorraumes und seiner Koordinatendarstellung bzgl. einer Basis wird sehr fließend verändert, hier gerade im letzten Gleichheitszeichen zu beobachten.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-04-06 15:43 - Spedex in Beitrag No. 6 schreibt:
Ja, das stimmt aber sei die Basis wie folgt definiert:
\[\{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\}\] Und es sei der Vektor in folgender Form gegeben:
\[\begin{pmatrix}9\\5\end{pmatrix}\] Dann sind die Koordinaten trotzdem nicht \(9\) und \(5\) sondern \(2\) und \(3\), denn:
\[2\cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+3\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\] Daher die Frage...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Die Basisvektoren selbst sind als Koordinatenvektor bzgl. der Standardbasis $\mathcal{B_1}=\left\{\vec e_1, \vec e_2\right\}$ geschrieben, d.h. $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1} = 3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}+1\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}$ mit $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathcal{B_1} = 1\vec e_1 + 0\vec e_2$ sowie $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1} = 0\vec e_1 + 1 \vec e_2$. Der Koordinatenvektor des ersten Basisvektors in der Basis $\mathcal{B_2}=\left\{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\}$ ist dann $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1} = 1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}+0\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}$ also $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}$ und Dein beispielhafter Koordinatenvektor $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}_\mathcal{B_2} = 2\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}+3\cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}$.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-07 13:22 - Spedex in Beitrag No. 18 schreibt:
Hm, ok.
Also ich habe die Basis B, welche wie folgt definiert ist:
\[B:\quad \{\bpm 3\\1 \epm,\bpm 1\\1 \epm\}\] Der Vektor hat bezüglich der Basis B die Koordinaten:
\[\bpm 2\\3\epm \]
Nun möchte ich die Darstellung des Vektors / die Koordinaten des Vektors bezüglich der Standardbasis formulieren.
Das mache ich durch geeignete Matrixmultiplikation:
\[\bpm3&&1\\1&&1\epm\cdot \bpm2\\3\epm=\bpm 9\\5\epm\]
Und das ist dann der Vektor mit Koordinaten, welche auf die Standardbasis bezogen sind.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)2021-04-06 20:36 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
Und dann vergleiche deine Basis B mit dieser Matrix...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Die Wechselmatrix entsprich also zusagen meiner Basis B, wenn ich mich nicht täusche.

Wäre die Antwort auf die Aufgabenstellung "Beschreiben Sie die Spalten von T", also:
Die Spalten der Wechselmatrix T entsprechen den Basisvektoren der Basis B.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Richtig, die Basiswechselmatrix ist $\begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}$, denn $\begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}_\mathcal{B_1}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B_2}$ und $\begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}_\mathcal{B_1}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}_\mathcal{B_2}$. Beachte, dass in den Spalten der Basiswechselmatrix die transformierten Basisvektoren (genauer die transformierten Koordinaten der Basisvektoren) bezogen auf $\mathcal{B_1}$ stehen! Für den Koordinatenvektor $\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}$ gilt nun:

\[\begin{aligned}\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}
&=2\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}+3\cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_2}\\
&=2\cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}+3\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\\
&=2\cdot \begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}+3\cdot\begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\\
&=\begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\left(2\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}+ 3\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\right)\\
&=\begin{pmatrix}3 && 1 \\ 1 && 1\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\\
&=\begin{pmatrix}9 \\ 5\end{pmatrix}_\mathcal{B_1}\end{aligned}\]
Im anderen Thread hat Diophant zwei Vektoren in der Ebene $x-2y+z=0$ gewählt ($x=0\implies z=2y$ und mit $y=1$ folgt $z=2$, analog ist $y=0\implies z=-x$ und mit $x=1$ ist $z=-1$), welche bei Reflektion unverändert bleiben, sowie den Vektor normal zur Ebene $(1,-2,1)^T$, welcher nur seine Richtung umkehrt, um daraus eine Basis $\mathcal{B_2}$ zu konstruieren, bezüglich welcher eine Spiegelung $S_\mathcal{B_2}$ besonders einfach zu schreiben ist. Die Spalten der Basistransformationsmatrix $T$ enthalten die transformierten Koordinaten der Basisvektoren von $\mathcal{B_1}$ bzgl. $\mathcal{B_1}$, welche als neue Basis $\mathcal{B_2}$ festgelegt werden. Ein Vektor $\vec v$, welcher nun an der Ebene gespiegelt werden soll, wird zuerst bzgl. der Standardbasis als Koordinatenvektor notiert, die Inverse $T^{-1}$ transformiert diese Koordinaten in eine Darstellung bzgl. $\mathcal{B_2}$. Nun folgt die Spiegelung $S_\mathcal{B_2}$, deren Spalten die transformierten Koordinatenvektoren der Basis $\mathcal{B_2}$ bzgl. $\mathcal{B_2}$ sind und Rücktransformation mit $T$ führt auf die Koordinaten des gespiegelten Vektors bzgl. Basis $\mathcal{B_1}$.

Vielleicht helfen Dir diese Aussagen weiter, um die Lösung von Diophant hier besser nachvollziehen zu können!



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07 22:20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Wow, ich tu mir da erstaunlich schwer. Danke auf jeden Fall schonmal, ich würde gerne zuerst die Aufgabe b) anschauen.
Hier soll ich zeigen, dass C eine Basis desselben Vektorraums ist und ich soll die Transformationsmatrix angeben.

Hier verstehe ich nicht die ganz diese Formulierung "Basis desselben Vektorraums". Heißt dass, dass die Basis B einen Vektorraum bildet, und daran kann man dann eine Basis C biden?

Und ich suche jetzt \(C=T\cdot B\), wobei die Matrix T die Basen tranformiert?
Ich weiß auf jeden Fall schonmal, dass ich die Vektoren von C durch geeignete Linearkombination der Vektoren von B bilden kann, in der Form:
\[\sinh(x)=0.5\cdot \exp(x)-0.5\cdot \exp(-x)\] \[\cosh(x)=0.5\cdot \exp(x)+0.5\cdot \exp(-x)\]
Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2021-04-07 23:12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo,

das ist doch schon einmal was: du hast ja die neue Basis durch die alte ausgedrückt.
Der \(\sinh\) hat dabei die Koordinaten (0.5,-0.5) und der \(\cosh\) entsprechend (0.5,0.5).

Damit kannst du jetzt verfahren wie gehabt.

Wie sieht denn die Darstellung anders herum aus, wenn man exp(x) und exp(-x) durch Sinus- und Kosinus hyperbolicus ausdrückt?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08 00:14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, also ich komme auf folgendes:
\[\bpm\cosh(x)\\ \sinh(x)\epm=\bpm0.5&&0.5\\0.5&&-0.5\epm\cdot \bpm\exp(x)\\ \exp(-x)\epm\] Sprich die Wechselmatrix wäre folgende:
\[\bpm 0.5&&0.5\\0.5&&-0.5 \epm\]
Das würde mich aber wundern, denn die Wechselmatrix war doch eigentlich die Matrix dargestellt aus den Standardvektoren der jeweiligen Basis.
Also meine Vektoren beziehen sich ja auf die Basis B, sprich es müsste doch gelten:
\[C=B\cdot \bpm v_1\\v_2\epm _B\] Aber das ist ja offensichtlich nicht der Fall...

Liebe Grüße
Spedex

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2021-04-08 00:26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

doch, das passt jetzt prinzipiell. Ich verstehe nur die letzte Gleichung nicht: für was steht dort das \(C\)?

Du musst jetzt nur bedenken, dass du die Basis B im Vergleich zur Aufgabenstellung umgeordnet hast (was bei Übungsaufgaben nicht empfehlenswert ist...).

Deine Basis ist \(\lbrace \cosh x,\sinh x\rbrace\), gefordert ist \(\lbrace \sinh x,\cosh x\rbrace\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08 13:06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo,
Bezüglich dem vertauschten Anschreiben: Ja, ich würde es schon gerne richtig rum anschreiben, nur weiß ich nicht wie.
Würde die Wechselmatrix wie folgt aussehen, würde es funktionieren:
\[\bpm 0.5&&-0.5\\0.5&&0.5 \epm\] Nur dann habe ich doch da nicht mehr die Koordinaten drin, so wie sie sein sollen, wenn man die Spalten betrachtet, oder?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2021-04-08 13:30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-08 13:06 - Spedex in Beitrag No. 25 schreibt:
Mit C meinte ich:
\[\bpm\sinh(x)\\\cosh(x)\epm\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Hm, und was soll das für einen Sinn ergeben? \(v_b\) ist ja hier irgendein Vektor, der bzgl. der Basis B dargestellt ist. Also wäre C wenn überhaupt die Darstellung dieses Vektors bzgl. der ursprünglichen Basis. Und das ist natürlich auch so. Betrachten wir einmal den Sinus hyperbolicus. Dieser besitzt in der Basis B (Achtung, ich verwende die vorgegebene Ordnung!) die Darstellung

\[\sinh x=1\cdot\sinh x+0\cdot\cosh x=\bpm 1\\ 0\epm\]
Mit der vorgegebenen Ordnung heißt die Basiswechselmatrix:

\[B=\bpm 0.5&0.5 \\ -0.5&0.5 \epm\]
Und voilà:

\[\bpm 0.5&0.5 \\ -0.5&0.5 \epm\cdot \bpm 1\\ 0\epm=\bpm 0.5\\-0.5 \epm\]
Was der bekannten Identität

\[\sinh x=0.5\on{e}^x-0.5\on{e}^{-x}\]
entspricht.  

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-08 13:06 - Spedex in Beitrag No. 25 schreibt:
In den vorherigen Beiträgen wurde ersichtlich, dass der Basiswechsel eigentlich folgende Form haben muss:
\[C=B\cdot \bpm v_1\\v_2\epm _B\] Er hat aber hier die Form:
\[C= \bpm v_1\\v_2\epm _B\cdot B\] Daher meine Frage...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Wie kommst du darauf? Das wäre ja rein als Matrizenmultiplikation überhaupt nicht definiert...

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-08 13:06 - Spedex in Beitrag No. 25 schreibt:
Bezüglich dem vertauschten Anschreiben: Ja, ich würde es schon gerne richtig rum anschreiben, nur weiß ich nicht wie.
Würde die Wechselmatrix wie folgt aussehen, würde es funktionieren:
\[\bpm 0.5&&-0.5\\0.5&&0.5 \epm\] Nur dann habe ich doch da nicht mehr die Koordinaten drin, so wie sie sein sollen, wenn man die Spalten betrachtet, oder?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Wie gesagt: das ändert einfach nur die Reihenfolge der Vektoren der Basis B.

(Wenn man mit Basiswechselmatrizen arbeitet, dann hat man es grundsätzlich mit geordneten Basen zu tun.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08 14:02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, aber muss die Basiswechselmatrix B nicht folgende Bedingung erfüllen:
\[\bpm \sinh(x)\\ \cosh(x) \epm =B\cdot \bpm e^x\\e^{-x} \epm\] Sei die Matrix B nun wie folgt definiert, so wie du es sagst:
\[B=\bpm 0.5&0.5 \\ -0.5&0.5 \epm\]
Dann ist diese Bedingung ja offensichtlich nicht gegeben...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2021-04-08 14:25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-08 14:02 - Spedex in Beitrag No. 27 schreibt:
Hallo, aber muss die Basiswechselmatrix B nicht folgende Bedingung erfüllen:
\[\bpm \sinh(x)\\ \cosh(x) \epm =B\cdot \bpm e^x\\e^{-x} \epm\] Sei die Matrix B nun wie folgt definiert, so wie du es sagst:
\[B=\bpm 0.5&0.5 \\ -0.5&0.5 \epm\]
Dann ist diese Bedingung ja offensichtlich nicht gegeben...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Nein, wie kommst du darauf? Du hast das offensichtlich immer noch nicht verstanden. Auf der einen Seite hat man hier einen Vektorraum, für den zwei unterschiedliche Basen angegeben sind.

Jede Funktion aus diesem Vektorraum besitzt nun eine eindeutige Darstellung bzgl. jeder der beiden Basen. Betrachten wir einmal die Funktion \(f\) mit

\[f(x)=2\on{e}^x+3\on{e}^{-x}\]
In der Standardbasis \(\mathfrak{B}\) hat diese Funktion offensichtlich die Darstellung

\[f(x):=\bpm 2\\3 \epm_\mathfrak{B}\]
Auf der anderen Seite gilt

\[f(x)=2\on{e}^x+3\on{e}^{-x}=-\sinh x+5\cosh x\]
(Nachrechnen!)

Also besitzt unsere Funktion bzgl. der Basis \(\mathfrak{C}\) die Darstellung

\[f(x):=\bpm -1\\5 \epm_\mathfrak{C}\]
Und es ist (oh Wunder...):

\[\bpm 0.5&0.5 \\ -0.5&0.5 \epm \cdot \bpm -1\\5\epm=\bpm 2\\ 3 \epm \]
Also transformiert die Basiswechselmatrix von der Basis \(\mathfrak{C}\) in die Basis \(\mathfrak{B}\).

Vielleicht habe ich auch etwas zur Verwirrung hier beigetragen, weil ich mit den Namen der beiden Basen durcheinandergekommen war. Hier in diesem Beitrag habe ich jetzt die Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung verwendet (vielen Dank @reik für den Hinweis!).

Sorry, falls es so war!


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08 16:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, das habe ich tatsächlich (as usual) falsch verstanden.

Ich hab mir jetzt das Beispiel angeschaut und nachgerechnet.

Um den Vektor \(\ds \bpm 2\\3 \epm _B\) als Vektor bezüglich der Basis C umzuschreiben, habe ich folgende Überlegung getätigt:
\[f(x)=2\cdot e^x+3\cdot e^{-x}=a\cdot \sinh(x)+b\cdot \cosh(x)\] Wir wissen, dass:
\[0.5\cdot e^x-0.5\cdot e^{-x}=\sinh(x)\] \[0.5\cdot e^x+0.5\cdot e^{-x}=\cosh(x)\] Und da kann man dann einen Art Koeffizientenvergleich durchführen, also:
\[a\cdot 0.5+b\cdot 0.5=2\] \[a\cdot (-0.5)+b\cdot 0.5=3\] Diese Gleichungssystem kann man lösen und erhaltet als Ergebnis:
\[a=-1\quad b=5\] Das heißt:
\[f(x)=2\cdot e^x+3\cdot e^{-x}=-1\cdot \sinh(x)+5\cdot \cosh(x)\] Der Vektor bezüglich der Basis C lässt sich also wie folgt schreiben:
\[\bpm -1\\5 \epm _C\]
Wenn man sich das Gleichungssystem anschaut bzw. die "fixen Koeffizienten"
des Gleichungssystems dann sieht man, dass diese genau gleich wie die richtige Transformationsmatrix T ist, nämlich:
\[\bpm 0.5 && 0.5 \\ -0.5 && 0.5 \epm\]
Leider, oh leider, frag ich mich, warum das so genau so ist?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2021-04-08 17:10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-08 16:54 - Spedex in Beitrag No. 29 schreibt:
Leider, oh leider, frag ich mich, warum das so genau so ist?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)

Ganz ehrlich: an dieser Stelle kommt ein solches Forum an seine Grenzen. Das ist auf der anderen Seite absoluter Standardstoff, den man in jedem vernünftigen Linalg-Lehrbuch nachlesen und studieren kann (das Wort "Studium" hat ja durchaus auch seinen Sinn...).

Ich schreibe das jetzt einfach nochmal, bitte sehe mir das nach. Denn: du tust dir mit dieser Lernmethode auf Dauer keinen Gefallen. In einem anspruchsvollen Studienfach wie dem deinen fliegt man damit früher oder später auf die Schnauze. Und wegen Mathe haben schon viele Maschinenbaustudenten ihr Studium geschmissen, so ist das nicht: dieses Fach ist da eigentlich sogar berüchtigt in der Hinsicht.

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Eine einfache (aber nicht ausreichende) Begründung oder zumindest eine Möglichkeit, sich das besser merken zu können wäre die (und das schreibe ich auch nicht zum ersten Mal...): genau dann, wenn die Basiswechselmatrix aus den Spalten der aktuellen Basis, dargestellt bzgl. der Zielbasis, gebildet wird, dann wird die Multiplikation dieser Matrix mit Einheitsvektoren aus der aktuellen Basis dir deren Darstellung in der Zielbasis liefern.

Wenn du eben (auf dieses Beispiel heruntergebrochen) möchtest, dass da am Ende \(\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) und \(\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) herauskommt, dann leistet das diese eine Matrix und sonst keine andere.

Hast du dir die weiter oben verlinkte Wikipediaseite denn einmal gründlich angesehen?


Gruß, Diophant


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