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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Konvergenz / Divergenz Funktionenfolge bzgl. verschiedener Normen
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Universität/Hochschule J Konvergenz / Divergenz Funktionenfolge bzgl. verschiedener Normen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-07 20:46


Guten Abend zusammen,

folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade:

In $C([-1,1])$ betrachte die Folge $(f_k)_{k \in \IN}$ mit
$f_k(x) = \frac{kx^2}{1 + kx^2}, \; k \in \IN, x \in [-1,1]$

a) Die Folge $(f_k)_{k \in \IN}$ ist bzgl. $\parallel \cdot \parallel_{\infty}$, also der Supremumsnorm, divergent.

b) Bzgl. der Einsnorm $\parallel \cdot \parallel_1$ ist die Folge konvergent, wobei die Einsnorm wie folgt definiert wurde:
Auf $\mathscr C[0,1]$ definiere $\|f\|_1 := \int \limits_{0}^{1}|f(t)|dt$.


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Nun habe ich mir zunächst einmal für a) Gedanken gemacht.
Sei $x \in [-1,1]$ beliebig. Nehme per Widerspruchsbeweis an, dass $f_k$ doch konvergiert. Dann wäre $(f_k)_{k \in \IN}$ eine Cauchy-Folge in $(\IR, \parallel \cdot \parallel_{\infty})$. Es existiert also zu jedem $\epsilon > 0$ ein $n_0 \in \IN$, sodass für alle $k \in \IN$ gilt:
$k > n_0 \Rightarrow \|f_k(x) - f_{n_{0}}(x)\|_{\infty} < \epsilon$ bzw.
$k > n_0 \Rightarrow sup \{|f_k(x) - f_{n_{0}}(x)| \; x \in [-1,1]\} < \epsilon$.

Insbesondere gilt dann $|f_k(x) - f_{n_{0}}(x)| < \epsilon$ für alle $x \in [-1,1]$, was bedeutet, dass $\left|\frac{kx^2}{1 + kx^2} - \frac{n_0 x^2}{1 + n_0x^2}\right| < \epsilon$.


Ist dieser Ansatz per Widerspruch zielführend und bisher korrekt?
Und wie würdet ihr weitermachen? Habt ihr mir einen Tipp?


Für jede Hilfe bin ich euch sehr dankbar 🙂

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-07 20:50


2021-04-07 20:46 - X3nion im Themenstart schreibt:
Dann wäre $(f_k)_{k \in \IN}$ eine Cauchy-Folge in $(\IR, \parallel \cdot \parallel_{\infty})$.
Du meinst sicher, dass $(f_k)$ dann eine Cauchy-Folge in $(\mathscr C[-1,1],\lVert\cdot\rVert_{\infty})$ ist, oder?

Das Ganze geht aber auch etwas einfacher. Für $x\neq 0$ ist
$$ \lim_{k\to \infty} f_k(x)=1.
$$ Für $x=0$ ist $f_k(x)=0$ und damit
$$ \lim_{k\to \infty} f_k(x)=0.
$$ Also konvergiert $(f_k)$ punktweise gegen die Funktion $f\colon [-1,1]\to \mathbb R$ gegeben durch
$$ f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$ $f$ ist nicht stetig und daher kann $(f_k)$ nicht gleichmäßig gegen $f$ konvergieren (Wenn nämlich doch, so müsste auch $f$ stetig sein). Gleichmäßige Konvergenz ist aber gerade per Definition die Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07 21:02


Hi nzimme10 und vielen Dank für deinen Beitrag!

2021-04-07 20:50 - nzimme10 in Beitrag No. 1 schreibt:
Du meinst sicher, dass $(f_k)$ dann eine Cauchy-Folge in $(\mathscr C[-1,1],\lVert\cdot\rVert_{\infty})$ ist, oder?

Ja genau, das meine ich


$f$ ist nicht stetig und daher kann $(f_k)$ nicht gleichmäßig gegen $f$ konvergieren (Wenn nämlich doch, so müsste auch $f$ stetig sein). Gleichmäßige Konvergenz ist aber gerade per Definition die Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm.

Die gleichmäßige Konvergenz kommt erst im nächsten Kapitel, von dem her gehe ich davon aus, dass man das noch nicht benutzen darf 😁
Gibt es noch eine andere Möglichkeit sonst?

Viele Grüße,
X3nion


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-07 21:03


Du könntest ja schonmal "vorarbeiten" und beweisen, dass gleichmäßige Konvergenz (also einfach Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm) die Stetigkeit erhält! :D Das kannst du z.B. mit einem "$\varepsilon/3$-Argument" machen:
$$ |f(x)-f(a)|\leq|f(x)-f_{k_0}(x)|+|f_{k_0}(x)-f_{k_0}(a)|+|f_{k_0}(a)-f(a)|
$$ Hier musst du nur noch ein geeignetes $k_0$ und eine passende $\delta$-Umgebung von $a$ finden und kannst dann mit den Voraussetzungen die drei Beträge jeweils gegen $\varepsilon/3$ abschätzen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07 21:41


Hey nzimme10, ja stimmt, damit geht es 😄

Zur b) Hier muss ja gezeigt werden, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist und konvergiert (denn $\mathscr C[-1,1], \parallel\ \parallel_1$ ist ja nicht vollständig?)

Wie könnte man das machen? Evtl. über eine konvergente Teilfolge, die man sich aus der Cauchy-Folge konstruiert?

Viele Grüße,
X3nion


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-07 21:46


Ich bin mir jetzt nicht sicher, was in diesem Kontext mit "$1$-Norm" genau gemeint sein soll. Wie ist diese Norm bei euch definiert?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07 21:55


Ahh sorry, das hätte ich noch erwähnen sollen!

Auf $\mathscr C[0,1]$ definiere $\|f\|_1 := \int \limits_{0}^{1}|f(t)|dt$.

Also hätten wir in diesem Falle $\|f\|_1 := \int \limits_{-1}^{1}|f(t)|dt$


Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-07 22:02


Hier könnte man ein bisschen elementargeometrisch argumentieren und dann könnte man vermuten, dass die Funktion bezüglich dieser Norm gegen $f\equiv 1$ konvergiert, und das nachweisen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07 22:06


Hmm könntest du mich ein wenig an den elementargeometrischen Überlegungen teilhaben lassen und mir erklären, wieso du das vermutest? 🙂

Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-07 22:14


Ich habe mir überlegt, was genau diese Norm eigentlich tut. Also was bedeutet es, dass eine Funktionenfolge bezüglich dieser Norm konvergiert?

Ich hätte gerne, dass
$$ \left(\int_{-1}^1 |f_k(x)-f(x)| \ \mathrm{d}x\right)_{k\in \mathbb N}
$$ eine Nullfolge ist. Nun habe ich mir einfach mal den Graph von $f_k$ angesehen. Schau dir doch mal den Graph von $|f_k-1|$ an, dann erkennst du, warum man gerade auf $f\equiv 1$ kommt :)

Es ist also eher ein "educated guess", wie man so schön sagt. Nichts desto trotz:

Es ist
$$ \lVert f_k-1\rVert_1=\int_{-1}^1 |f_k(x)-1| \ \mathrm{d}x=\int_{-1}^1 \frac{1}{kx^2+1} \ \mathrm{d}x=\left. \frac{\arctan(x\sqrt{k})}{\sqrt{k}} \right|_{x=-1}^{x=1}=\frac{2\arctan(\sqrt{k})}{\sqrt{k}}\leq \frac{\pi}{\sqrt{k}}
$$ und das ist eine Nullfolge.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07 23:43


Hey nzimme10,

vielen Dank dir, ja klar, jetzt wo du es sagst, ist es natürlich klar, dass es gegen 1 gehen muss. Manchmal hilft eben ausprobieren, nicht nur bei Nullstellenbestimmung 😁

Viele Grüße,
X3nion


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