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Mathematik » Zahlentheorie » Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt unter Verwendung der Fermatzahlen
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Universität/Hochschule Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt unter Verwendung der Fermatzahlen
OliverFuchs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-08 10:36

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} % --- Blackbord Boldface --- \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}}  \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}}  \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}}  \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}  \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}}  \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}}  \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}  \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}  \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}  \newcommand{\im}{\operatorname{Im}}  \newcommand{\id}{\operatorname{id}}  \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}}  \renewcommand{\mod}{\operatorname{mod\;}}  \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}  \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}}  \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}}  \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}  \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}}  \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}}  \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}  \newcommand{\card}{\operatorname{card}}  \newcommand{\nand}{ \mathop {\bar \wedge}} %NAND  \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}} \renewcommand{\>}{\Rightarrow}  \newcommand{\<}{\Leftarrow}  \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \newtheorem{Theorem}{Theorem}[section]  \newtheorem*{Theorem*}{Theorem}  \newtheorem*{BemerkungOF*}{BemOF}  \newtheorem{Folgerung}{Folgerung}[section]  \newtheorem*{Folgerung*}{Folgerung}  \newtheorem{Zusammenfassung}{Zusammenfassung}[section]  \newtheorem*{Zusammenfassung*}{Zusammenfassung}  \newcommand{\bthe}{\begin{Theorem}}  \newcommand{\ethe}{\end{Theorem}}  \newcommand{\bauf}{\begin{Aufgabe}}  \newcommand{\eauf}{\end{Aufgabe}}  \newcommand{\bbsp}{\begin{Beispiel}}  \newcommand{\ebsp}{\end{Beispiel}}  \newcommand{\bbsps}{\begin{Beispiel*}}  \newcommand{\ebsps}{\end{Beispiel*}}  \newcommand{\bbem}{\begin{Bemerkung}}  \newcommand{\ebem}{\end{Bemerkung}}  \newcommand{\bbems}{\begin{Bemerkung*}}  \newcommand{\ebems}{\end{Bemerkung*}}  \newcommand{\bbw}{\begin{Beweis}}  \newcommand{\ebw}{\end{Beweis}}  \newcommand{\bdefi}{\begin{Definition}}  \newcommand{\edefi}{\end{Definition}}  \newcommand{\bdefis}{\begin{Definition*}}  \newcommand{\edefis}{\end{Definition*}}  \newcommand{\bfolg}{\begin{Folgerung}}  \newcommand{\efolg}{\end{Folgerung}}  \newcommand{\bfolgs}{\begin{Folgerung*}}  \newcommand{\efolgs}{\end{Folgerung*}}  \newcommand{\bkor}{\begin{Korollar}}  \newcommand{\ekor}{\end{Korollar}}  \newcommand{\bkors}{\begin{Korollar*}}  \newcommand{\ekors}{\end{Korollar*}}  \newcommand{\blem}{\begin{Lemma}}  \newcommand{\elem}{\end{Lemma}}  \newcommand{\bhlem}{\begin{Hilfslemma}}  \newcommand{\ehlem}{\end{Hilfslemma}}  \newcommand{\blems}{\begin{Lemma*}}  \newcommand{\elems}{\end{Lemma*}}  \newcommand{\bhlems}{\begin{Hilfslemma*}}  \newcommand{\ehlems}{\end{Hilfslemma*}}  \newcommand{\bsatz}{\begin{Satz}}  \newcommand{\esatz}{\end{Satz}}  \newcommand{\bsatzs}{\begin{Satz*}}  \newcommand{\esatzs}{\end{Satz*}}  \newcommand{\bprops}{\begin{Proposition*}}  \newcommand{\eprops}{\end{Proposition*}}  \newcommand{\bprop}{\begin{Proposition}}  \newcommand{\eprop}{\end{Proposition}}  \newcommand{\bthes}{\begin{Theorem*}}  \newcommand{\ethes}{\end{Theorem*}}  \newcommand{\bbeof}{\begin{BemerkungOF*}}  \newcommand{\ebeof}{\end{BemerkungOF*}}  \newcommand{\bzus}{\begin{Zusammenfassung}}  \newcommand{\ezus}{\end{Zusammenfassung}} \newcommand{\bzuss}{\begin{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ezuss}{\end{Zusammenfassung*}}  \newcommand{\ub}{\underbrace}  \newcommand{\us}{\underset}  \newcommand{\ul}{\underline}  \newcommand{\ol}{\overline}  \newcommand{\os}{\overset}  \newcommand{\sst}{\scriptstyle}  \newcommand{\st}{\scriptsize}  \newcommand{\blsq}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}  \newcommand{\idt}{.\;\;}  \newcommand{\idtt}{.\;\;\;\;} \)
Hallo,
Ich bereite mich immer noch auf die Zahlentheorie vor.
Wir haben in den Übungen das folgende Beispiel bekommen.

Beispiel 13
Beweise folgende Behauptungen: ({\it Hinweis:} Bsp. 7)
1) Ist $2^n-1$ eine Primzahl, so gilt auch $n\in\PP$.
2) Ist $2^n+1$ eine Primzahl, so ist $n=2^k$
 für ein $k \in\NN$.
3) Die $n$-te Fermatzahl $F_n$ ist definiert durch
$F_n = 2^{(2^n)} +1$. Zeige, dass $\prod_{k=0}^{n}F_k=F_{n+1}-2$.
4) Schließe daraus, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Das Beispiel 7 auf welches Bezug genommen wird lautet:
Beispiel 7
1) Seien $x,y\in\ZZ$ und $n,m\in\NN$ mit $n\vert m$. Zeige,
dass $x^n-y^n\vert x^m-y^m$.


Die Punkte 1-3 habe ich, so glaube ich wenigstens, lösen können.
Der Punkt 4) war mir fremd und daher für mich schwieriger. Ich habe aber
einen Beweis gefunden von dem ich mir aber nicht sicher bin
ob er stimmt.


Beweis:

Ad 1)

Wenn $d=2^n-1$ eine Primzahl ist, so hat $d$ keine echten Teiler.
Nun schließe ich indirekt. Angenommen $n$ ist keine Primzahl,
dann hat $n$ zumindest einen echten Teiler $1<t<n,t\vert n$.
Aus Beispiel 7.1 folgt dass $d'=2^t-1\vert 2^n-1$ gilt.
Außerdem gilt. $1<3\leq d'=2^t-1<2^n-1$. Damit wäre aber $d'$
ein echter Teiler von $d$, was ein Widerspruch dazu ist, dass
$d$ eine Primzahl ist. Also kann auch $n$ keinen echten Teiler haben,
ist also selbst eine Primzahl.

Ad 2)
Erster Ansatz: Wenn $n=2^k$ ist, so kann ich das als PFZ von $n$
auffassen. Dann hat $n$ nur die $2$ als Primfaktor. Also nehme ich
indirekt an $n$ hätte, außer der $2$, noch einen anderen Primfaktor.
Dann gibt es also eine Primzahl $p\in\PP,p>2$ mit $p\vert n$. Sei
$q$ der Komplementärteiler von $n$ zu $p$. Dann gilt
$2^n+1=2^{p\cdot q}+1$. Nach dem was ich im Lemma 1.2.2 in der Formelsammlung und weil $p$ stets ungerade ist gilt
$2^q+1\vert 2^n+1$. Da $1<q<n$ gilt, gilt $1<2^q+1<2^n+1$.
Somit ist $2^q+1$ ein echter Teiler von $2^n+1$. Damit wäre
$2^n+1$ keine Primzahl, was unserer Annahme widerspricht. Somit
kann $n$ keine ungeraden Primzahlen in der PFZ haben und hat also
die Form $n=2^k$.

Ad 3)
Ich zeige das mit der Vollständigen Induktion.\\
Induktionsvoraussetzung $n=1$:\\
$F_0=2^{2^0}+1=2+1=3$,
$F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5$ und $\prod_{k=0}^{1}F_k
=F_0\cdot F_1=3\cdot 5=15$. Andererseits gilt
$F_{2}-2=2^{2^2}+1-2=2^4-1=16-1=15$.
Damit ist die Induktionsvoraussetzung gezeigt.
Die Induktionsannahme lautet:
$$ \prod_{k=0}^{n}F_k=F_{n+1}-2
$$ Im Induktionsschritt gehe ich von $n\to n+1$.
$$    \prod_{k=0}^{n+1}F_k
    =(\prod_{k=0}^{n}F_k)F_{n+1} \\
    \us{Ind. Vor.}{=}(F_{n+1}-2)F_{n+1} \\
    =F_{n+1}^2-2F_{n+1}\\
    =(F_{n+1}^2-2F_{n+1}+1)-1\\
    \us{*}{=}(F_{n+2}-1)-1\\
    =F_{n+2}-2\\
$$ Dazu muss ich noch (*) nachrechnen
$$   F_n-1  =2^{2^n}\\
F_{n+1}-1=2^{2^{n+1}}\\
         =2^{2^n\cdot 2}\\
         =(2^{2^n})^2\\
         =(F_n-1)^2\\
         =F_n^2-2F_n +1\\
$$ $\square_3$

Ad 4)
Das erste was naheliegend ist, ist nachzusehen ob alle Fermatzahlen
Primzahlen sind. Mein Vorwissen hat nein gesagt. Mit Mathematica habe
ich gesehen, dass $F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=65537$ Primzahlen
sind. Ab dann habe ich bis $F_{10}$ keine Primzahl mehr gefunden.
Also geht unser Ansatz nicht. Als nächstes könnte man zu zeigen
versuchen, dass es unendlich viele Fermatzahlen gibt die Primzahlen
sind. Dann gibt es, selbstverständlich, auch unendlich viele
Primzahlen. Das könnte man indirekt versuchen. Wenn es nur endlich
viele Fermatzahlen gäbe die Primzahlen sind, so müsste es eine
größte solche geben.  Nennen wir sie $F_n$. Dann bilden wir
$\prod_{k=0}^{n}F_k$. Laut unserer Formel gilt aber
$\prod_{k=0}^{n}F_k=F_{n+1}-2$.
Würde nun $F_k\vert F_{n+1}$ für ein $k\in\{0,\cdots,n\}$ gelten
dann müsste auch $F_k\vert 2$ gelten. Das kann nicht sein,
da alle Fermatzahlen ungerade sind. Also gilt
$$ \forall k\in \{1,\cdots,n\}
F_k\not\vert F_{n+1}
$$ Die Formel gibt uns aber auch eine Rekursionsvorschrift in die Hand.
$F_{n+1}=(\prod_{i=0}^{n}F_k)-2$
Der Schluss auf den ich zugehe ist nun zu zeigen zu versuchen, dass
es unendlich viele Fermatprimzahlen gibt. Hier versuche ich
zunächst indirekt anzusetzen. Angenommen es würde nur endlich viele
Fermatzahlen geben, die Primzahlen sind. Dann müsste es aber eine
größte solche Zahl geben, welche ich $F_n$ nennen möchte.
Wenn also für alle $j>n$ $F_j$ keine Primzahl ist, so muss es
für jede dieser Zahlen einen echten Teiler geben.
$\forall j>n, \exists t_j\in\NN, t_j\vert F_j, 1<t<F_j$. Wenn es
aber für jedes $j>n$ so einen Teiler gibt so muss es auch einen
kleinsten solchen geben, der dann eine Primzahl ist. Es gilt also,
$\forall j>n, \exists q_j\in\PP, q_j\vert F_j, 1<p_j<F_j$.
Wir wollen ja zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und
zwar über den Umweg der Fermatzahlen. Wenn wir aber indirekt schließen, so ist unsere Annahme dass es nur endlich viele Primzahlen
gibt. Dann hat aber die Menge alle Primzahlen die folgende Form.
$\PP=\{p_1,\cdots,p_n\}$. Also gilt $t_j\in \PP$.
Um nun die Situation zu vereinfachen, stelle ich mir vor es gäbe nur
eine Primzahl. Das sind ja auch endlich viele. Dann sind
unendlich viele Fermatzahlen durch diese teilbar. Wenn
ich zur Allgemeinen Situation übergehe sieht das so aus.
Ich ordne jeder Primzahl aus $\PP$ die Fermatzahlen $F_j,j>n$ zu
die durch sie geteilt werden. Diese Zuordnung muss nicht
eindeutig sein. Dann bekomme ich $n$ Mengen $A_i=\{
F_j\vert F_j \text{ ist Fermatzahl }, j>n, p_i\vert F_j\}$.
Da es aber unendlich viele $F_j$ mit $j>n$ gibt muss zumindest eine
Menge $A_i$ auch unendlich sein. $\vert A_i\vert =\aleph_0$.
Wenn ich zeigen kann, dass es so eine Menge nicht geben kann, habe
ich meinen Widerspruch. Jetzt bin ich etwas unsicher, aber ich glaube
das ist damit äquivalent zu zeigen, dass für eine beliebige
Primzahl nur endlich viele $F_j$ geben kann die durch diese
teilbar sind. Bevor ich aber nachforsche ob dem so ist, versuche ich
das zu zeigen. Geht es nicht kann ich mir den Versuch die Äquivalenz
zu zeigen sparen. Geht es reiche ich das Ergebnis nach, weil
es den Beweis abschließt.

Also mache ich mich jetzt auf diesen Weg. Ich möchte also zeigen,
dass es unmöglich ist, dass es eine Primzahl gibt welche alleine
unendlich viele Fermatzahlen teilt. Da ich nun etwas planlos bin
mache ich das, was ich in der Schule auch gemacht habe, ich trage einmal alle Informationen zusammen die ich habe und sehe ob ich etwas vernünftiges erkennen kann. Ich sehe mir zuerst die Formel
$\prod_{k=0}^{n}F_k+2=F_{n+1}$ an. Wenn $p\vert F_{n+1}$ gilt,
so teilt $p$ die rechte Seite der Gleichung. Also muss $p$
auch die Linke Seite der Gleichung teilen. Wenn $p$ das Produkt
teilen würde so müsste $p$ auch die $2$ teilen. Das geht nur
wenn $p=2$ ist. Wenn also $p=2$ ist dann wird auch
das Produkt durch $2$ geteilt. Dann gibt es aber ein $r_n,
0\leq r_n\leq n$ mit $2\vert F_{r_n}$. Das ist aber unmöglich,
da alle Fermatzahlen ungerade sind. Somit muss die Primzahl
$p\neq 2$ sein. Dann teilt sie aber $2$ nicht und kann
somit auch das Produkt nicht teilen. Damit gilt aber
$(p\vert F_{n+1})\wedge(\forall k, 0\leq k\leq n: p\not\vert F_k )$.
Wenn also die Fermatzahl $F_{n+1}$ durch eine Primzahl $p$ teilbar
ist so ist keine andere kleinere Fermatzahl durch die selbe
Primzahl teilbar. Kann ich schon daraus einen Widerspruch ableiten?
Ich nehme also an $p$ teilt die Fermatzahlen
$F_{s_1},F_{s_2},F_{s_3}\cdots $ mit $s_1<s_2<s_3<\cdots$.
Mehr brauche ich dann aber schon nicht mehr. denn wenn $p\vert
F_{s_2}$ gilt, so würde, wenn ich richtig geschlossen habe,
$p\not\vert F_{s_1}$ gelten. Ich kann also nicht nur keine unendliche
Menge von Fermatzahlen zusammen bekommen die durch ein und die
selbe Primzahl teilbar sind, sonder jede Primzahl könnte nur
genau eine Fermatzahl teilen. Diesen Schluss muss ich noch exakter
ausführen.\\
Ich sehe mir also die Situation an. Wenn ich zwei beliebig
Fermatzahlen $F_i,F_j$ her nehme, so gilt ohne Beschränkung der Allgemeinheit $i<j\> F_i<F_j$. Dann gilt aber auch
$\prod_{k=0}^{j-1} F_k+2=F_j$. Sei nun $p$ eine Primzahl
die $p\vert F_j$ teilt.
Da die kleinste Fermatzahl $F_0=3$
ist und jede Fermatzahl ungerade ist, gilt $2\not\vert F_j$,
also $p\neq 2$. Nun teilt $p$ die rechte Seite der Gleichung
also auch die linke. Da aber $p\not\vert 2$ gilt, muss
auch $p\not\vert \prod_{k=0}^{j-1} F_k$ also auch
$p\not\vert F_i$ gelten.\\
Sein nun auf der andern Seite $q$ eine Primzahl die $F_i$
teilt. Wieder kann diese nicht $2$ sein. Ich kann die
Gleichung umschreiben, dann steht da,
$$ \prod_{k=0}^{j-1} F_k=F_j-2
$$ Nun teilt $q$ die linke Seite also auch die recht Seite.
Da aber $q\not\vert 2$ gilt, muss auch $q\not\vert F_j$ gelten.
Somit haben wir gezeigt, dass die Primfaktorzerlegungen von
zweier verschiedener Fermatzahlen keine gemeinsamen Primzahlen haben können. Zwei verschiedene Fermatzahlen sind daher immer
teilerfremd.



Meine Argumentation lautet wie folgt:

1) Es gibt unendlich viele Fermatzahlen.
2) Jede Fermatzahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Damit ist jede Fermatzahl zumindest durch eine Primzahl teilbar.
3)
3a)Jede jede Fermatzahl zumindest durch eine Primzahl teilbar.
3b)Damit kann ich jeder Fermatzahl diese Primzahl zuordnen.
3c)Da je zwei Fermatzahlen nie durch die selbe Primzahl teilbar sind,
unterscheiden sich also alle so gefundenen Primzahlen paarweise.
3d) Damit habe ich eine 1-1 Zuordnung zwischen den Fermatzahlen und diesen Primzahlen.
3e)Da es unendlich viele Fermatzahlen
gibt, gibt es auch unendliche viele verschieden solche Primzahlen.
3f)Damit gibt es aber unendlich viele Primzahlen.
$\square$


Bemerkung:
Jede natürliche Zahl $n\in\NN$ besitzt einen Primteiler $p\in\PP,p\vert n$.

Beweis:
Das ist leicht gezeigt. Sei $n\in\NN$ beliebig. Entweder $n$
ist schon eine Primzahl, dann sind wir fertig. Wenn nicht dann
hat $n$ zumindest einen echten Teiler $t_n$ und einen echten
Komplementärteiler $s_n$ mit $n=t_n\cdot s_n$ . Nun ist
$t_n$ wieder eine natürliche Zahl mit $1<t_n<n$. Für diese
treiben wir das Spiel wieder, bis es nicht mehr geht. Wir
erhalten also eine Kette von Teilern
$r_0=n,r_1=t_n,r_2=t_{t_n},\cdots,r_{k-1},r_k=p$
an deren Ende eine Primzahl steht.
Dieser Prozess muss nach endlich vielen Schritten abbrechen.
Dann gilt aber $(r_k=p)\wedge (r_k\vert r_{k-1})\wedge(r_{k-1}\vert r_{k-2})\>r_k\vert r_{k-3}\> p\vert r_{k-3}$. Mittels vollständiger Induktion kommen wir zu $p=r_k\vert r_0= n$.
$\square$

Mir ist also ein Beweis gelungen, der ohne die Mengen $A_j$ auskommt,
welche ich geglaubt habe einführen zu müssen. Damit brauche ich auch die
von mir angedeutete Äquivalenz nicht zeigen.

Stimmt mein Beweis von 4)?

lg Oliver

\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-08 20:44


Hallo,
zu 4)
Überlege, was sich über den ggT der Fermatzahlen sagen läßt.
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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OliverFuchs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-09 08:01

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Hallo,

Lieber Wauzi, danke für deinen Hinweis. Ich habe im Internet einen Beitrag der Uni Graz gefunden wo eine Studentin alternative Beweise für den von EUKLID gibt. Der Beweis über die Fermatzahlen stammt ursprüngliche von Goldbach, welcher auch die goldbachsche Vermutung geäussert hat.
Da ich davon keine Ahnung hatte bin ich ein bisschen stolz, dass ich den Beweis selber ohne Vorwissen gefunden habe. In dieser Antwort versuche ich aber meine Gedanken etwas zu straffen.

Der Angelpunkt bei diesem Beweis ist der folgende. Wenn ich zeigen kann,
dass es unedliche viele teilerfremde natürliche Zahlen  gibt bin ich fertig.
Warum?

Nun zum einen wissen wir, dass jede natürliche Zahl $n$ zumindest durch
eine Primzahl $p_n$ teilbar ist.
Wenn ich nun unedliche viele Zahlen $A=\{a_0,a_1,a_2,\cdots\}\subset \NN$
gibt für die $\ggT(a_i,a_j)=1$ für $i\neq j$ gilt. Die $a_i$ sind also paarweise teilerfremd. Dann bin ich fertig.
Das begründe ich wie folgt. Es sein $PA=\{p_{i}\vert p_{i}\in \PP,p_{i}\vert a_i \}$ eine Menge von Primzahlen die für
jedes $i\in\NN$ $a_i$ teilen. Wenn ich nun zwei Elemente dieser Menge
$p_i,p_j\in PA,i\neq j$ hernehme, und es würde $p_i=p_j$ gelten, dann
wäre $\ggT(a_i,a_j)\geq p_i>1$. Das ist ein Wiederspruch.
Damit muss $p_i\neq p_j$ gelten. Somit ist die Abbildung $f:A\to \PP$  
von der unedlichen Menge $A$ in die Primzahlen $\PP$ injektiv. Also
muss $\PP$ eine unedliche Teilmenge haben und so selber unedlich sein.
$\square$

Damit genügt es zu zeigen, dass die Fermatzahlen, von denen es ja unedlich viele gibt, alle paarweise Teilerfremd sind. Das habe ich gezeigt und bin damit fertig.

lg Oliver 🙂

 
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Hallo,
etwas kürzer:
Sei pn die kleinste Primzahl, die Fn teilt.
Aus der Produktgleichung folgt:
pn+1 teilt keine der Fermatzahlen F1 bis Fn, da sonst pn+1 =2 wäre.
=>Jedes Fn enthält eine Primzahl, die bei den vorherigen Fermatzahlen nicht unter den pi gelistet war.
Da es unendlich viele Fn gibt, gibt es auch unendlich viele Primzahlen.
Gruß Wauzi



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Danke



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