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  stückweise affine Funktionen in der linearen Hülle von (t-K)^+ |
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Axerstein
Junior 
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 16
 |      Themenstart: 2021-04-08 10:51
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Einen wunderschönen guten Tag!
Ich habe beim folgenden Beispiel Probleme:
Sei $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige, stückweise affine Funktion, das heißt es gibt $0=t_{1}, \ldots, t_{n}=1,$ sodass $f(t)=\frac{t-t_{k}}{t_{k+1}-t_{k}} f\left(t_{k+1}\right)+\frac{t_{k+1}-t}{t_{k+1}-t_{k}} f\left(t_{k}\right)$ für $t \in\left(t_{k}, t_{k+1}\right)$.
Für $K \in \mathbb{R}$ definiere $h_{K}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ vermittels $h_{K}(t)=(t-K)^{+}$. Bezeichne $\operatorname{span}(M)$ die lineare Hülle einer Menge $M$. Zeigen Sie, dass $ \operatorname{span}\left(\left\{h_{K}: K \in \mathbb{R}\right\}\right)$
dicht in $C([0,1], \mathbb{R})$, also dem Raum der stetigen Funktionen ist, indem Sie zeigen, dass bereits $f \in \operatorname{span}\left(\left\{h_{K}: K \in \mathbb{R}\right\}\right)$.
Meine Idee wäre, die Funktion f stückweise als Summe von $c(t-K)^+$ zu bauen:
Konstruiere ein beliebiges $f$ als Linearkombination von $h_K$. Betrachte zuerst den Positivteil $f^+$ von $f$, Negativteil folgt analog, $f=f^+-f^-$.
Sei dazu $0=t_1<t_2...<t_n=1$ eine beliebige Partition von $[0,1]$, $f^+$ wird induktiv gebaut:
$t\in[0,t_2]$: $f(t)=\frac{t}{t_2}f(t_2)+\frac{t_2-t}{t_2}f(0)=t\frac{f(t_2)-f(0)}{t_2}+f(0)$
$c_1:=\frac{f(t_2)-f(0)}{t_2},$ wähle $K_1$ so, dass $-c_1K_1=f(0)$, $h_{K_1}:=c_1(t-K)^+$, damit gilt
$$f(t)^+=c_1h_{K_1},\forall t\in[0,t_2]$$
Angenommen für $t\in[0,t_k]$ wurde die Funktion bereits konstruiert, betrachte das Intervall $[t_k,t_{k+1}]$
\underline{$t\in[t_k,t_{k+1}]$:}$f(t)=\frac{t-t_{k}}{t_{k+1}-t_{k}} f\left(t_{k+1}\right)+\frac{t_{k+1}-t}{t_{k+1}-t_{k}} f\left(t_{k}\right)
=t\frac{f(t_{k+1}-f(t_k))}{t_{k+1}-t_k}+\frac{t_{k+1}f(t_k)-t_kf(t_{k+1})}{t_{k+1}-t_k}$
$c_k:=\frac{t_{k+1}f(t_k)-t_kf(t_{k+1})}{t_{k+1}-t_k}$, wähle $K_k$ so, dass $-c_kK_k=\frac{t_{k+1}f(t_k)-t_kf(t_{k+1})}{t_{k+1}-t_k}$, damit gilt
$$f(t)^+=c_kh_{K_k},\forall t\in[t_k,t_{k+1}]$$
Also gilt insgesamt $\forall t\in[t_1,t_n]$:
$$f(t)^+=\sum\limits_{j=0}^{n-1}c_jh_{K_j}-\sum\limits_{j=0}^{n-1}c_jh_{\tilde K_j},t\in[t_0,t_k]$$
Für $f^- $ geht es analog, insgesamt gilt $f(t)\in\operatorname{span}\left(\left\{h_{K}: K \in \mathbb{R}\right\}\right)$
Ist mein Ansatz so richtig? Ich habe Probleme bei der Bestimmung von $\tilde K$, die Idee wäre, dass bei jedem Intervallrand das Komplement addiert wird und anschließend die entsprechende Funktion für das nächste Intervall addiert wird.
Lg
Axerstein
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