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Mathematische Software & Apps » Matlab » Simulation von Pseudozufallszahlen gemäß gegebener 2D-Dichtefunktion
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Kein bestimmter Bereich Simulation von Pseudozufallszahlen gemäß gegebener 2D-Dichtefunktion
Dirk_Broemme
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-09


Hallo zusammen,

ich habe gegeben eine 2-dim- Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

f(x,y)=n*Exp[-0,5*((x/a)^2+(y/b)^2 )^k]

mit n: reeller Normierungsfaktor
a,b,k: reelle Konstanten

Ich suche eine Möglichkeit (außer Rejection sampling)  Zufallszahlen nach dieser Dichtefunktion in Matlab zu simulieren.

Viele Grüße
Dirk



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-10


Hallo Dirk,

um eine ZV $(X_1, X_2)$ gemäß deiner Dichte zu erhalten, kannst du zuerst gleichverteilte Werte auf der Ellipse mit Halbachsen $a$ und $b$ generieren,
$$ \big( a \cos(2 \pi U_1), b \sin(2 \pi U_2) \big),
$$ für $U_1, U_2$ unabhängig und gleichverteilt auf $(0, 1)$.
Diese multiplizierst du dann mit einer ZV $R$,
$$ X_1 = a R \cos(2 \pi U_1), \quad X_2 = b R \sin(2 \pi U_2),
$$ wobei wir $R$ aus der Verteilung mit Dichte
$$ f_R(r) = \frac{2^{1-1/k}}{\Gamma(1+1/k)} r \exp(-1/2 r^{2k}), \quad r > 0
$$ gewinnen. Hierbei bezeichnet $\Gamma(\cdot)$ die Gamma-Funktion.
Die Verteilungsfunktion lautet
$$ F_R(r) = 1 - \frac{\Gamma(1/k, r^{2k}/2)}{\Gamma(1/k)}, \quad r > 0,
$$ wobei $\Gamma(\cdot, \cdot)$ die unvollständige Gamma-Funktion ist.
Wir erhalten eine $F_R$-verteilte ZV mittels
$$ R = F^{-1}(U_3)
$$ mit einer auf $(0,1)$-gleichverteilten, von $(U_1, U_2)$ unabhängigen, ZV $U_3$.
Die Gleichung
$$ U_3 = F(R)
$$ lässt sich etwa mit dem Newton-Verfahren lösen. Ein geeigneter Startpunkt ist die Wendestelle von $F_R$. Sie liegt bei
$$ \left( \frac{1}{k} \right)^{1/(2k)}.
$$
Viele Grüße
Torsten



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