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Schulmathematik » Funktionsuntersuchungen » Nullstelle einer momentanen Änderungsrate im Sachzusammenhang
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Schule J Nullstelle einer momentanen Änderungsrate im Sachzusammenhang
leaxyz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-09


Hallo,

es geht um die folgende Aufgabe, bei der ich die Musterlösung zu einer der Teilaufgaben nicht verstehe:

Durch die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{7}x \cdot (x+3) \cdot e^{-0,5x}\) wird für \(x \geq 0\) in Abhängigkeit von der Zeit die momentane Änderungsrate der Niederschlagsmenge in einer Stadt modelliert, die vom Beginn eines Gewitterschauers niedergeht.

Dabei wird \(x\) in der Einheit Minuten und \(f(x)\) in der Einheit \(\frac{l/m^2}{min}\) angegeben.

In einem bestimmten Aufgabenteil soll man zunächst begründen, dass \(N(x)=(-\frac{2}{7}x^2-2x-4) \cdot e^{-0,5x}\) eine zum obigen Sachkontext passende Stammfunktion ist. Das war soweit auch kein Problem.

Der letzte Aufgabenteil lautet: Im Folgenden nehmen wir an, dass die momentane Änderungsrate der Niederschlagsmenge in der Stadt ab dem Zeitpunkt \(x_0=4\) nicht mehr durch die Funktion \(f\) beschrieben wird, sondern dass der Graph von \(f\) ohne Knick in einen geradlinigen Graphen übergeht. Berechnen Sie die Gleichung der Funktion \(h\), deren Graph für \(x \geq 4\) geradlinig verläuft, und bestimmen Sie dann den Zeipunkt, an dem es nicht mehr regnet.

Für \(h\) erhalte ich wie in der Musterlösung \(h(x)=-\frac{3}{7e^2} \cdot x + \frac{40}{7e^2}\). Zur Bestimmung des gesuchten Zeitpunkts wird dann in der Musterlösung die Nullstelle von h bestimmt, was ich jedoch nicht verstehe, da das dann doch eigentlich nur der Zeitpunkt ist, zu dem die momentante Änderungsrate der Niederschlagsmenge null ist (sprich: zu dem die Niederschlagsmenge nicht größer oder kleiner wird). Ich würde zur Ermittlung des gesuchten Zeitpunkts die Nullstelle der Funktion \(G(t)=N(4) + \int_0^t h(x)dx\) bestimmen. Habe ich hier irgendeinen Denkfehler?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

die Funktion \(f\) beschreibt ja die Regenmenge in Litern pro Quadratmeter und Minute. Die Stammfunktion \(N\) steht also für die ingesamt angefallene Regenmenge bei dem erwähnten Gewitterregen.

Insofern ist die Musterlösung richtig: wenn die Änderungsrate \(f\) bzw. ihre Fortsetzung \(h\) gleich Null ist, dann regnet es nicht mehr, sprich: die Gesamtmenge \(N\) hat dann ihr Maximum erreicht.

Also stimmt die Musterlösung.
 

Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Funktionsuntersuchungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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leaxyz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11


Okay, also nochmal um sicherzugehen, dass ich das richtig verstehe.

Weil \(N\) die insgesamt in einem bestimmten Zeitraum angefallene Regenmenge in Litern pro Minute beschreibt, ergeben hier negative Funktionswerte von \(f\) keinen Sinn, da die insgesamt angefallene Regenmenge nur gleichbleiben oder größer werden kann.

Im Grunde bin ich bei meinem Lösungsversuch doch dann fälschlicherweise davon ausgegangen, dass \(N\) nicht die insgesamt angefallene Regenmenge in Litern pro Quadratmeter beschreibt, sondern für jeden Zeitpunkt die, ich nenne es jetzt einfach mal Niederschlagsrate, ebenfalls in Litern pro Quadratmeter angegeben, liefert. In diesem Kontext hätten negative Funktionswerte von \(f\) ja dann Sinn ergeben und mein Lösungsansatz wäre dann richtig gewesen, oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

2021-04-11 00:46 - leaxyz in Beitrag No. 2 schreibt:
Okay, also nochmal um sicherzugehen, dass ich das richtig verstehe.

Weil \(N\) die insgesamt in einem bestimmten Zeitraum angefallene Regenmenge in Litern pro Minute beschreibt, ergeben hier negative Funktionswerte von \(f\) keinen Sinn, da die insgesamt angefallene Regenmenge nur gleichbleiben oder größer werden kann.

Im Grunde bin ich bei meinem Lösungsversuch doch dann fälschlicherweise davon ausgegangen, dass \(N\) nicht die insgesamt angefallene Regenmenge in Litern pro Quadratmeter beschreibt, sondern für jeden Zeitpunkt die, ich nenne es jetzt einfach mal Niederschlagsrate, ebenfalls in Litern pro Quadratmeter angegeben, liefert. In diesem Kontext hätten negative Funktionswerte von \(f\) ja dann Sinn ergeben und mein Lösungsansatz wäre dann richtig gewesen, oder?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Das nennt man mal einen Fehler exakt und umfassend analysiert. 😉

Und zu deiner Beruhigung: genau dieser Fehler ist mir zunächst auch unterlaufen.

Die Aufgabe ist dahingehend auch, sagen wir mal: verführerisch formuliert.

Wie so oft bei diesen 'Aufgaben im Sachzusammenhang' hilft ein Blick auf die Maßeinheit der fraglichen Funktion dabei, einen solchen Fehler zu vermeiden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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leaxyz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12


Okay, vielen Dank für deine Hilfe, Diophant🙂



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leaxyz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
leaxyz hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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