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  ist die Summenregel für konvergente Reihen ∞ oft anwendbar? |
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Informatik-Rentner
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Mitteilungen: 59
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Die Summenregel für konvergente Reihen lautet:
∞ ∞ ∞
∑ (a(k)+b(k)) = ∑ a(k)+ ∑ b(k)
k=1 k=1 k=1
Meine Frage: kann/darf ich diese Regel beliebig oft anwenden?
d.h. also sei c(k) die konvergente Reihe, die aus a(k)+b(k) entstanden ist und ich addiere eine weitere konvergente Reihe dazu usw.
ich habe eine unendliche Folge von konvergenten Reihen r(i) und möchte die alle addieren, also
∞
∑ r(i)
i=1
Darf ich einfach die Grenzwerte addieren?
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Sismet
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Wohnort: Heidelberg
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hallo,
du möchtest wissen ob $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n,m}$$
gilt.
Das ist nicht immer der Fall, aber wenn eine der beiden Doppelreihen absolut konvergiert, dann gilt die Behauptung. Insbesondere gilt sie also wenn eine Doppelreihe nur aus positiven Summanden besteht und die Doppelreihe konvergiert.
Einen Beweis dafür liefert der Doppelreihensatz (von Cauchy).
Grüße
Sismet\(\endgroup\)
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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 1201
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo Informatik-Rentner,
die allgemeine Antwort lautet: nein. Die speziellere Antwort lautet: ja, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind. Speziell geht es um den großen Umordnungssatz, und die Reihen, die du betrachtest, nennt man Doppelreihen.
Eine Doppelreihe ist eine Reihe der Form $\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_{ij}$. Der große Umordnungssatz besagt:
Wenn es eine Schranke $M>0$ gibt, sodass $\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n \vert a_{ij}\vert<M$ für alle $m,n\in\mathbb N$, dann gilt:
1. $\sum_{i=0}^\infty a_{ij}=:S_j$ konvergiert für alle $j\in\mathbb N$ absolut.
2. $\sum_{j=0}^\infty a_{ij}=:Z_i$ konvergiert für alle $i\in\mathbb N$ absolut.
3. Die Reihen $\sum_{i=0}^\infty Z_i$ und $\sum_{j=0}^\infty S_j$ konvergieren beide absolut und haben denselben Wert.
Speziell 3. ist die Aussage, die du suchst. Sie besagt nämlich, dass man auch die beiden unendlichen Summen vertauschen kann, so wie man endliche mit unendlichen Summen vertauschen kann.
Viele Grüße
Vercassivelaunos
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Informatik-Rentner
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10
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Informatik-Rentner hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Informatik-Rentner hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |  [Neues Thema]  [Druckversion] |
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