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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Fourier-Reihe des Dirac-Kamms
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Universität/Hochschule J Fourier-Reihe des Dirac-Kamms
Pi_Ist_Genau_3
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  Themenstart: 2021-04-11

Hallo Leute, bei Elektrotechnikern liest man manchmal Gleichungen wie \[ \sum_{k=-\infty}^\infty\delta(t-kT) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{jk\omega t}, \] wobei hier \(\omega =\frac{2\pi}{T}\), \(T>0\) und \(j^2=-1\) ist. Begründet wird dies damit, dass das rechte die Fourier-Reihe des Dirac-Kamms ist, da sich die Koeffizienten formal durch \[ c_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta(t)e^{-jk\omega t}\,dt=\frac{1}{T} \] ergeben. Diese Begründung hinkt natürlich, da man Fourier-Reihen und Konvergenzsätze erstmal nur für Funktionen hat. Ich habe nun versucht, diese Gleichung im distributionellen Sinne zu interpretieren. Die linke Seite interpretiere ich als \[ \left\langle\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(t-kT),\varphi\right\rangle := \sum_{k=-\infty}^\infty\left\langle\delta_{kT},\varphi\right\rangle = \sum_{k=-\infty}^\infty\varphi(kT), \] wobei \(\varphi\) eine Testfunktion ist. Die rechte Seite würde ich als \[ \left\langle\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{jk\omega t},\varphi\right\rangle := \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty\left\langle e^{jk\omega \cdot},\varphi\right\rangle = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\varphi(t)e^{jk\omega t}\,dt = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty\mathcal{F}(\varphi)(-k\omega) \] interpretieren, wobei \(\mathcal{F}\) die Fourier-Transformation ist. Ist die Interpretation korrekt oder ist mit dieser Gleichung eigentlich etwas anderes gemeint? Die beiden Ausdrücke sehen erstmal ziemlich verschieden aus. Sind diese tatsächlich gleich und falls ja, wie kann man dies zeigen?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-11

Schau dir mal die Poissonsche Summenformel an. --zippy


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

Hallo zippy, vielen Dank für den Link, der ist sehr hilfreich :)


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