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Universität/Hochschule Wurzelkriterium bei einer Reihe
arhzz
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  Themenstart: 2021-04-11

Hallo! \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^2}{2^k}\) Ich dachte mir dieses beispiel wurde sich schon mit wurzelkriterium ausrechnen lassen. Ich habe das so gemacht \(\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\frac{k^2}{2^k}}\) Man kann die wurzel einzeln fur zahler und nenner machen.Die wurzel im nenner und das exponent im nenner kurzen sich weg.Im zahler bleibt die wurzel,also \(\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\frac{k^2}{2}}\) Jetzt habe ich die wurzel im zahler zu einem exponent gemacht (1/k) Und wenn man das dan mit 2 die schon im exponen von k ist bekommt man das \(\lim_{k\to\infty} \frac{k^{2/k}}{2} \) Und jetzt bin ich mir nicht so sicher in meine nachste rechnschritte.Ich habe k gegen unendlich gehen lassen.Da ich ein k als zahler im bruch habe und dann noch einem in exponent,bin ich mir unsicher ob ich es richtig interpretiere.Ich denk es mir so; das 2/k wird 0 sein,da k unendlich wachst wird diese zahl immer kleiner,ich hab kurz in taschenrechner gecheckt und das sollte passen.Also der exponent sollte 0 sein.Das k als zahler wird zu unendlich wachsen also habe ich eine kommische situation. \(\infty^0\) Also egal welche zahl wir nehmen hoch 0 wird es zu einer 1.Damit haben wir 1/2 und das sollte das die reihe konvergiert.Wie sieht meine rechnung aus,irgendwie denk ich mir das ich ads mit unedlich hoch 0 und solchen dingen nicht tun darf.


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DominikS
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-11

Hallo, \quoteon Da ich ein k als zahler im bruch habe und dann noch einem in exponent,bin ich mir unsicher ob ich es richtig interpretiere.Ich denk es mir so; das 2/k wird 0 sein,da k unendlich wachst wird diese zahl immer kleiner,ich hab kurz in taschenrechner gecheckt und das sollte passen \quoteoff Vermutlich habt ihr in der Vorlesung bewiesen, dass $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n] n=1$ gilt. Damit wäre dein Problem gelöst. Versuche diese Aussage also am besten einmal im Skript zu finden, und studiere dann eventuell den Beweis, damit dieser sich einprägt. \quoteon \(\infty^0\) Also egal welche zahl wir nehmen hoch 0 wird es zu einer 1. \quoteoff Bedenke, dass $\infty$ keine Zahl ist, und man mit diesem Symbol (in der Regel) nicht rechnen kann, wie man es sonst gewöhnt ist.


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wladimir_1989
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-12

Hallo arhzz, alternativ kann man hier gut das Quotientenkriterium verwenden. Es ist natürlich trotzdem wichtig zu wissen, dass \(\lim_{n\to \infty} n^{\frac{1}{n}}=1\) gilt. lg Wladimir


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arhzz
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

Das \(\lim_{n\to \infty} \sqrt[n] n=1\) gilt stimmt auf jeden fall.Allerding sehe ich das nicht in meinem beispiel.Ich hab ein quadrat unter der wurzel also \(\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2} \) Das ist doch nicht das selbe,oder? Und das mit unendlichkeit keine zahl ist und man nicht so einfach mit ihr rechen kann war eigentlich einer der grunde warum ich die frage gestellt habe. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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arhzz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

\quoteon(2021-04-12 00:23 - wladimir_1989 in Beitrag No. 2) Hallo arhzz, alternativ kann man hier gut das Quotientenkriterium verwenden. Es ist natürlich trotzdem wichtig zu wissen, dass \(\lim_{n\to \infty} n^{\frac{1}{n}}=1\) gilt. lg Wladimir \quoteoff Unserer Profesor hat gesagt das wir die Wurzelkriterium bevorziehen sollen,aber ich kanns auch gerne fur ubungszwecke auch mit Quotientkriterium losen.Alleridings sehe ich nicht wie ich auf n^1/n komme? bei mir ist doch n^2/n, es ist k^2.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-12

Es ist $$ \sqrt[n]{n^2}=n^{\frac{2}{n}}=\left(n^{\frac{1}{n}}\right)^2=\left(\sqrt[n]{n}\right)^2. $$ Grenzwerte sind auch unter anderem dafür da, dass man nicht "mit $\infty$ rechnen" muss. Du hast dann also $$ \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\frac{k^2}{2^k}}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{k^2}=\frac{1}{2}\left(\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{k}\right)^2=\frac{1}{2}. $$


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arhzz
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

\quoteon(2021-04-12 00:42 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Es ist $$ \sqrt[n]{n^2}=n^{\frac{2}{n}}=\left(n^{\frac{1}{n}}\right)^2=\left(\sqrt[n]{n}\right)^2 $$ \quoteoff Oh wow...Also das ist viel rumspielen mit potenzen und wurzeln.I habe die "einfache" variante genommen.I hab den limes von \(\sqrt[n]{n^2}\) handisch gerechnet und ich komme auf einen 1er.Ich habe dann ein online calculator verwendet und viele beliebige n^n probiert und es kommt immer ein 1er raus.Somit kommt man auf 1/2 und damit ist konvergenz bewiesen.Grundsatzlich war meine rechnung richtig aber es war sehr wackelig und somit ist es sicher besser. Danke fur die hilfe!


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-12

\quoteon(2021-04-12 00:52 - arhzz in Beitrag No. 6) Oh wow...Also das ist viel rumspielen mit potenzen und wurzeln.I habe die "einfache" variante genommen.I hab den limes von \(\sqrt[n]{n^2}\) handisch gerechnet und ich komme auf einen 1er.Ich habe dann ein online calculator verwendet und viele beliebige n^n probiert und es kommt immer ein 1er raus.Somit kommt man auf 1/2 und damit ist konvergenz bewiesen.Grundsatzlich war meine rechnung richtig aber es war sehr wackelig und somit ist es sicher besser. Danke fur die hilfe! \quoteoff Das ist zwar prinzipiell eine gute Idee um erstmal ein Gefühl dafür zu bekommen, was der Grenzwert sein könnte führt aber sehr schnell in die Irre! Es kann sein, dass eine Folge sehr lange braucht, bis sie sich ihrem Grenzwert hinreichend nahe angenähert hat. Einfach mit dem Computer ein paar Werte für verschiedene $n$ zu ermitteln, kann einen also auch in die falsche Richtung lenken und ist mit Vorsicht zu genießen. Einen formalen Beweis oder ein korrektes Anwenden bekannter Sätze über Grenzwerte ersetzt es allemal nicht.


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DominikS
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-12

\quoteon Unserer Profesor hat gesagt das wir die Wurzelkriterium bevorziehen sollen \quoteoff Das liegt vermutlich daran, dass Reihen die nach dem Wurzelkriterium konvergieren, auch nach dem Quotientenkriterium konvergieren. Umgekehrt ist es nicht so. Das Wurzelkriterium ist also in der Hinsicht "besser" als das Quotientenkriterium, welches sich oftmals als stumpfe Waffe erweist.


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