Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Linearität
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Linearität
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-12 13:14


Hallo,

wir betrachten den Raum \(V = B(\mathbb{N}, \mathbb{C}) \) aller beschränkten komplexen Folgen mit der Supremumsnorm. Weiters sei \(W = \{ \psi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} |\sum_{n=0}^{\infty} | \psi(n)| \text{ ist konvergent } \} \), der Raum aller komplexen Folgen, deren zugehörige Reihe absolut konvergiert, mit der Norm \(||\psi||_1 = \sum_{k=0}^{\infty} |\psi(n)|\).

Man soll die Linearität der folgenden Abbildung nachweisen

\(f: V \rightarrow W: \varphi \rightarrow \left(n \rightarrow \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} \right)\).

Ich weiß natürlich, dass man die Linearität einer Abbildung durch nachprüfen der beiden Eigenschaften zeigt, also durch Überprüfung von

1. Homogenität \(f(\alpha x) = \alpha f(x)\)
2. Additivität \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)

aber ich komme hier nicht weiter, wenn ich einsetzte, schaffe ich es nicht richtig umzformen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1445
Wohnort: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12 13:55


Hallo cphysik,

im Prinzip musst du dir überlegen, auf was \(\phi+\psi\) und \(\alpha \psi\) abgebildet werden. Benutze die Definition der Abbildung, also

\(\phi+\psi \mapsto ?\)
 Hoffentlich hilft dir das.

lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5579
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-12 14:00


Der Beweis schreibt sich von alleine hin, wenn du die Definitionen benutzt; siehe LinkWie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann für eine genauere Anleitung.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6847
Wohnort: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-12 14:02


Hallo cphysik,

als erstes solltest du zeigen, dass tatsächlich \(f(\phi)\in W\) für \(\phi\in V\) gilt.

Der Nachweis der Linearität ist eigentlich nur ein Klacks. Man muss sich nur klar werden, was eigentlich zu zeigen ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 14:11


Hallo Wladimir,

Ah ich glaube ich habe meinen Denkfehler, jetzt habe ich mir folgendes überlegt, für \(\phi, \varphi \in V\)

\(f(\phi) + f(\varphi) = \frac{\phi(n)}{(n+1)^2} + \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} = \frac{\phi(n) + \varphi(n)}{(n+1)^2} = f(\phi + \varphi) \)

und für die Homogenität für \(\alpha \in \mathbb{C}, \varphi \in V\)

\(f(\alpha \varphi) = \frac{\alpha \varphi(n)}{(n+1)^2} = \alpha \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} = \alpha f(\varphi)\)

Daher ist \(f\) linear.

Macht das Sinn?

Vielen dank

Lg cphysik


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6847
Wohnort: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-12 14:53


Formal ist das nicht ganz korrekt. Beachte, dass \(f(\phi),f(\varphi),f(\phi+\varphi)\) Elemente aus W sind, in der Mitte deiner Gleichungskette aber komplexe Zahlen stehen. Da kann also keine Gleichheit bestehen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5579
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-12 15:11


Du musst dir nichts überlegen. Du musst einfach nur die Definitionen einsetzen. Das hast du aber nicht getan. So entstehen dann die Fehler, wie von StrgAltEntf beschrieben.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 15:45


Hallo StrgAltEntf, Triceratops

ok, also nur die Definition einsetzten, aber ist die Definition nicht einfach \(n \rightarrow \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2}\), d.h.

\(f(\varphi) + f(\phi) = \left( n \rightarrow \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} \right)+ \left(n \rightarrow \frac{\phi(n)}{(n+1)^2} \right) = \left(n \rightarrow \frac{\phi(n) + \varphi(n)}{(n+1)^2} \right) = f(\varphi(n) + \phi(n)) \).

Tut mir leid für die dummen Fragen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3227
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-12 17:17


Bei der letzten Gleichheit hast du die Definition nicht richtig eingesetzt. So wäre es richtig:

\( \left(n \rightarrow \frac{\phi(n) + \varphi(n)}{(n+1)^2} \right) = \left (n\mapsto \frac{(\varphi+\phi)(n)}{(n+1)^2}\right) = f(\varphi + \phi) \)



-----------------
⊗ ⊗ ⊗



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 17:31


Hallo Ligning,

danke



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cphysik hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]