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Universität/Hochschule Signum von Verkettung von Permutationen beweisen
hari01071983
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  Themenstart: 2021-04-12

Liebe Alle, habe folgenden Permutationsbeweis gefunden. Und mir ist hier nicht klar warum ich die Schritte 1. und 2. machen darf. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/14869_MatheET02_Permutation_signum_von_Verkettung.png Vielleicht kann mir da jemand helfen. Danke und LG Hari


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12

Huhu Hari, im ersten Fall wird einfach die Rolle von $i$ und $j$ vertauscht (was im Grunde nur eine Umbenennung ist); im zweiten Falle wird ausgenutzt, dass $\{ 1, ..., N \} = \{ \sigma(1), ..., \sigma(N) \}$ ist. Setzt man man z.B. $(s,t)=(\sigma(i), \sigma(j)$ so steht das Gewünschte auch da (der Autor nennt die "neuen" Variablen eben auch nur wieder $i$ und $j$), also ist auch dies lediglich eine (weitere) Umbenennung. lg, AK


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hari01071983
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

Vielen Dank für deine Antwort,bei 2. stimme ich dir zu, aber 1. kann keine Umbenennung sein da sonst im Produkt i und j vertauscht werden müssten, oder?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-12

\quoteon(2021-04-12 23:23 - hari01071983 in Beitrag No. 2) aber 1. kann keine Umbenennung sein da sonst im Produkt i und j vertauscht werden müssten \quoteoff Das Produkt ändert sich nicht, wenn man $i$ und $j$ vertauscht, denn sowohl im Zähler wie auch im Nenner drehen sich die Vorzeichen und im Ergebnis bleibt alles beim Alten.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
helmetzer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-13

Ich fand diesen Artikel hier auf dem MP sehr hilfreich: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1604#9 Persönlich tat ich mir leichter, im Produkt nicht \(i \lt j\) zu betrachten, sondern die 2-elementigen Teilmengen \(\{i, j\}\). Beachte dabei, dass \(\{i, j\} \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\}\) eine bijektive Selbstabb. der Menge der 2-elementigen Teilmengen stiftet. Was natürlich auf dasselbe hinausläuft. [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Gruppen' von helmetzer]


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