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Universität/Hochschule J Zum Potenzreihenansatz für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Liebe Matheplanetarier

Ich schlage mich aktuell mit Folgendem herum:

Aufgabe.
Betrachte die Differentialgleichung $y'' - 2x y' + (2\varepsilon - 1)y = 0$ mit einer Konstante $\varepsilon > 0$ und Lösung $y:U \to \R,x \mapsto y(x)$ mit $U \subseteq \R$. Zeige, dass der Potenzreihenansatz
\[
    \begin{align*}
        y(x) = \sum_{n=n_0}^{\infty} c_n x^n
    \end{align*}
\] mit $c_{n_0} \neq 0$ und $c_{n_0+1}=0$ auf die Beziehung $n_0(n_0-1) = 0$ führt.

Mein bisheriger Fortschritt.
Es lässt sich zeigen (war eine vorgängige Aufgabe), dass für alle $n \geq n_0$ die Rekursionsformel
\[
    \begin{align*}
        (n+2)(n+1)c_{n+2} = (2n-(2\varepsilon-1)) c_n
    \end{align*}
\] gilt. Dies ist mir auch gelungen. Ebenso kann die Behauptung für $n_0 \in \{0,1\}$ mit einer direkten Rechnung geprüft werden.

Jedoch weiss ich nicht weiter, wie ich zeigen kann, dass $n_0 \notin \{0,1\}$ (also $n_0 \leq -1$ resp. $n_0 \geq 2$) unmöglich ist.🤔

LG Phoensie😄
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-13


Hallo,

eigentlich ist nur $n_0\leq 1$ denke ich, da bei dem Potenzreihenansatz immer $n_0\geq 0$ vorausgesetzt wird.
Wäre $n_0\geq 2$, so wären $c_0=c_1=0$. Dann kannst du mit der Rekursionsformel aber $c_k=0$ für alle $k\in\mathbb N$ zeigen.

Deine Rekursionsformel lässt sich auch durch
\[
n(n-1)\cdot c_n=\ldots c_{n-2}
\] für alle $n\geq 2$ formulieren.



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13


Danke dir, ochen. 😄



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