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Universität/Hochschule Kombinierte Wahrscheinlichkeit zwei Standardnormalverteilungen
Spedex
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  Themenstart: 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Hallo, folgende Aufgabenstellung: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52794_82_pic1.jpg Ignoriert bitte das rote Kästchen. Ich habe hier leider kaum Ahnung, wie ich auf die Lösung von 0.31031 kommen soll. Als Hinweis steht ja etwas vom Zentralen Grenzwertsatz. Dort steht etwas von: \[Z_n = \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}\] Aber ich meine, das hilft mir nicht weiter, denn es gilt \(S_n=X_1+X_2\), was soll das für konkrete Zahlenwert für \(X_1,X_2\) sein. Außerdem, was mache ich dann mit der standardisierten Zufallsvariable \(Z_n\).. Liebe Grüße Spedex\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\) Hallo Spedex, auf der verlinkten Wikipedia-Seite steht eigentlich haarklein, was zu tun ist. Deine Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) sind beide \(\mc{N}(0,1)\)-verteilt, außerdem sind sie nach Voraussetzung unabhängig. Du könntest ja einmal damit beginnen, den Wert für \(Z\) auszurechnen und die zugehörige Wahrscheinlichkeit in einer Tabelle nachzuschlagen (oder per TR auszurechnen). Und dann noch überlegen, was man mit dieser Warscheinlichkeit noch tun muss, da man eine Wahrscheinlichkeit der Form \(P(X>k)\) hat... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Spedex
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Ok, mir wurde mitgeteilt, dass sich die neuen Parameter wie folgt berechnen lassen: \[\mu_{neu}=\mu_1+\mu_2\] \[\sigma_{neu}=\sqrt{{\sigma_1}^2+{\sigma_2}^2}\] Damit komme ich dann auf das Ergebnis \[P=1-N[0,\sqrt{2}]\] Vielen Dank und liebe Grüße Spedex \(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\) Hallo, \quoteon(2021-04-13 21:49 - Spedex in Beitrag No. 2) Ok, mir wurde mitgeteilt, dass sich die neuen Parameter wie folgt berechnen lassen: \[\mu_{neu}=\mu_1+\mu_2\] \[\sigma_{neu}=\sqrt{{\sigma_1}^2+{\sigma_2}^2}\] Damit komme ich dann auf das Ergebnis \[P=1-N[0,\sqrt{2}]\] \quoteoff Das macht keinerlei Sinn und beantwortet insbesondere nicht die eigentliche Frage nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit. Du brauchst doch hier überhaupt nicht irgendwelche Parameter ausrechnen, die stehen doch alle in der Formel. Nimm also \[Z_2=\frac{X+Y-2\cdot 0}{1\cdot \sqrt{2}}\] Setze dort \(X+Y=0.7\) ein, berechne damit \(Z\) und ermittle den zugehörigen Wert der Standardnormalverteilung, nämlich \(\Phi(Z)\). Jetzt musst du nur noch auf eine Kleinigkeit achten, die ich in Beitrag #1 angesprochen hatte (oben hast du sie schon berücksichtigt...): du suchst eine Wahrscheinlichkeit der Form \(P(X>k)=1-P(X\le k)\). Das kann man alles nachlesen, und wenn man es so macht, dann kommt exakt die angegebene Musterlösung heraus... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Spedex
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13

Hallo, ich verstehe. Aber auch mit "meiner" Methode kommt man exakt auf die Musterlösung. Zugegeben, die Schreibweise ist sehr falsch, das stimmt. Wie auch immer, ich bin mir jetzt über beide Methoden bewusst. Vielen Dank nochmals und liebe Grüße nochmals Spedex


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-13

\quoteon(2021-04-13 21:58 - Diophant in Beitrag No. 3) Das macht keinerlei Sinn und beantwortet insbesondere nicht die eigentliche Frage nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit. \quoteoff Inwiefern ergibt das keinerlei Sinn? Wenn man die Verteilung der Summe $X+Y$ kennt, dann auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit. LG Nico Edit: Oder beziehst du dich auf das $P=1-N$?


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\) \quoteon(2021-04-13 23:30 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Edit: Oder beziehst du dich auf das $P=1-N$? \quoteoff Auch. Aber auch auf die Vorgehensweise, die zwar korrekt, aber nicht im Sinne der Aufgabe ist (und außerdem umständlich). Und zum wiederholten Mal wird hier durch den Themenstarter eine Aufgabe vorgestellt, die, zusammen mit den dazu gestellten Fragen den Eindruck erwecken muss, dass sie dahingehend besprochen werden soll, dass nachher ein Rechenweg klar ist und auch verstanden wurde. Und dann versucht man, die Aufgabe in diesem Sinn zu beantworten, bis es heißt: "April, April"... Das finde ich eben zumindest ein ganz klein wenig sinnfrei. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Spedex
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14

Hallo Diophant, ich wollte mich nur vergewissern, dass beide Wege gehen, bin jedoch überzeugt von der Sinnhaftigkeit deiner Lösungsmethode und dementsprechend sehr dankbar dafür, wie sonst auch immer. Liebe Grüße Spedex


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-14

Hallo Spedex, mir ging es vor allem um folgendes (und das scheint dir immer noch nicht klar zu sein): du wurdest auf den Sachverhalt aufmerksam gemacht, dass die Summe zweier beliebig normalverteilter und unabhängiger ZVen wieder normalverteilt ist, mit den Parametern aus Beitrag #2. Der zentrale Grenzwertsatz gibt das aber so nicht her, denn er geht ja von einer Summe identisch verteilter Zufallsvariablen aus (die gar nicht normalverteilt sein müssen, nur alle der gleichen Verteilung mit gleichen Parametern gehorchen). Wenn nun das Wissen um den Sachverhalt aus #2 in dieser Aufgabe vorausgesetzt wäre, dann wäre der Hinweis auf den zentralen Grenzwertsatz unnötig und würde dort nicht stehen. Und im Studium beim Bearbeiten von Übungs- oder Klausuraufgaben mit Konzepten zu arbeiten, die an der Stelle noch nicht bekannt sind, das ist halt wiederum bekanntermaßen nicht die beste Idee. Das gibt nämlich gerne einmal Punktabzug oder überhaupt keine Punkte... Aber: das musst du selbst für dich entscheiden. Gruß, Diophant


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