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Analysis » Folgen und Reihen » Quotientenkriterium richtig bei Fakultät anwenden
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Universität/Hochschule Quotientenkriterium richtig bei Fakultät anwenden
simplicity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-14 05:57


Hallo zusammen.

Ich wurde gern dieses Beispiel mit hilfe des Quotientientenkriterium lösen,angeblich sollte das die beste auswahl bei lösen von Problem wo Fakultät vorkommt.

\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k! 2^k}{k^k} \) Die schritte für Quotientkriterium angewendet,also ak+1 dividiert mit ak,das führt zu einem doppelbruch,das lässt sich so schreiben.

\(\frac{k^{k+1}}{k!2^k} \cdot \frac{(k+1)! 2^{k+1}}{k^k}\)

Also wenn ich mich nicht irre lässt sich (k+1)! als (k+1)! schreiben.Wenn das gilt wird sich ziemlich viel weg kurzen.Man sollte auf das kommen.

\(k \cdot (k+1) \cdot 2\)

Und nun jetzt das ausmultiplizieren und dann kann man das 2k rausklammern

\(2k(1+k)\)

Und wenn ich hier jetzt limes anwende,wobei k gegen unendlich geht,bekomme ich "unendlich" somit divergiert die Reihe.Allerdings sagen mehrere online rechener das die Reihe konvergent ist.Mir ist wahrscheinlich irgendwo ein Fehler passiert,aber ich sehe in leider nicht.Ich denke das man auch bei Fakultät das +1 addieren muss.Vielleicht beim kurzen,habe mehrmals gerechnet und ich denke alle schritte sind gültig.

Woran scheitere ich?


Mfg

simplicity.



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-14 06:34


Hallo,
dein Fehler war, das du a_(k+1) falsch berechnet hast, dann wird aus
k^k natürlich (k+1)^(k+1) und nicht k^(k+1) ...



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-14 10:19


Hallo simplicity,

2021-04-14 06:34 - ollie3 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
dein Fehler war, das du a_(k+1) falsch berechnet hast, dann wird aus
k^k natürlich (k+1)^(k+1) und nicht k^(k+1) ...


außerdem ist der Bruch \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\) schon in der Struktur falsch. Rechne den am besten nochmals aus.

lg Wladimir



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simplicity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14 14:33


Ah ja.. Okay ich muss es halt nochmal ausrechen,das mit k^k hat mich ein bissl verwirt.Und noch zum Beitrag von wladimir,wie meinst du das der bruch schon in der Struktur falsch? Darf ich es nicht so als eine bruch multiplikation schreiben?

Mfg

simplicity



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-14 14:49


Hallo,

du hast dich verrechnet. Wir haben \(\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{2^{k+1} (k+1)! k^k}{(k+1)^{k+1} k! 2^k}\).


lg Wladimir



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simplicity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14 19:07


Ja,also wenn ich den Bruch so habe dann bekomme ich konvergenz von dieser Reihe.Danke ihn für die Hilfe!


Mfg

simplicity



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simplicity hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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