Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Transformation auf die Tschebyscheff-Polynome
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Transformation auf die Tschebyscheff-Polynome
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-16 11:18


Hi !

Für $n\in\mathbb{N}$ würde ich gerne eine Transformation machen.
$\cos(nx)$ für $x\in[0,\pi]$ möchte ich durch die Transformation $y=\cos(x)$, also $x=\arccos(y)$, überführen in $cos(n\arccos(y))$ wobei dann natürlich das Intervall mittransformiert werden muss. Dabei würde sich das Intervall $[1,-1]$ als neuer Definitionsbereich ergeben. Dabei gefällt mir nicht, dass man $[1,-1]$ anstatt $[-1,1]$ hat - jedoch passt es andersrum nicht, oder habe ich da einen blöden Denkfehler ? Ich würde gerne auf die Tschebyscheff-Polynome dadurch gelangen, der Definitionsbereich und die Funktionsvorschrift passen ja bereits - wie gesagt stört mich aber dass das Intervall quasi verkehrt durchlaufen werden muss. Jemand eine Idee, wie man das umgehen kann oder ist das verkehrte Durchlaufen dann eh egal ?

Ich fürchte ich habe mich dabei gerade selbst ein wenig verwirrt und stehe ehrlich gesagt gerade auf dem Schlauch...

Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3846
Wohnort: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-17 06:49


Hallo mathematikerlein,
\(\cos(\arccos(-1))=-1\) und \(\cos(\arccos(1))=1\) ergibt doch das für \(n=1\) erwartete Tschebyscheffpolynom \(x\).

Viele Grüße,
  Stefan



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 08:32


Hi Stefan,

Danke dir zunächst für deine Antwort. Mir ist klar, dass $\cos(n\arccos(x))$ für $x\in[-1,1]$ genau das n-te Tschebyscheff-Polynom ergibt. Also in deinem Beispiel für $n=1$.
Was mich dabei wie gesagt nur stört ist, dass bei den ursprünglichen Funktionen $\cos(nx)$ mit $x\in[0,\pi]$ gilt: Anfangspunkt ergibt immer $\cos(0)=1$, Endpunkt ergibt $\cos(n\pi)=\pm 1$. Nach der Transformation zu $\cos(n\arccos(x))$ mit $x\in[-1,1]$ ergibt aber der Anfangspunkt $\cos(n\arccos(-1))=\cos(n\pi)=\pm 1$ und der Endpunkt $\cos(0)=1$ - die Durchlaufsrichtung ist also quasi verkehrt herum, sprich die transformierten Funktionen entsprechen dann doch nicht mehr genau den ursprünglichen Funktionen (dafür müsste man doch eben gerade $[1,-1]$ quasi von der 1 zur -1 durchlaufen - und genau das ist das, was mich an dieser Transformation so verwirrt 😃) oder habe ich da nach wie vor einen Denkfehler drin ? 🤔 Ich hoffe es is ersichtlich, was mein Problem an der Transformation ist...

Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3846
Wohnort: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-17 09:46


Das da ein Verdreher drin ist verstehe ich schon, aber ob ich das verständlicher ausdrücken kann... Nicht Funktionen werden transformiert sondern Intervalle, Funktionen sind ein Mittel dazu. \(\cos(x)\) transformiert das Intervall \([0,\pi]\) auf das Intervall \([0,1]\) und zwar so, dass der Anfangspunkt vom ersten Intervall auf den Endpunkt des zweiten Intervalls abgebildet wird. \(\arccos(x)\) umgekehrt, den Endpunkt vom zweiten Intervall auf den Anfangspunkt des ersten Intervalls. Insgesamt kommt die identische Abbildung heraus bei \(n=1\), was der Funktion \(f(x)=x\) entspricht. Die Verdrehung durch die eine Funktion wird durch die andere Funktion wieder rückgängig gemacht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 10:01


Hi Stefan,

Danke für deine Geduld. :)
Du meinst bei deinem Beispiel vermutlich eh auch das Intervall $[-1,1]$ anstatt $[0,1]$ richtig ?
Hm danke, nun denke ich verstehe ich es - ich hatte nicht daran gedacht, dass das was die eine Funktion umdreht, die andere ja quasi wieder rückgängig macht und zurückdreht!
Also sollten dann doch für jedes $n\in\mathbb{N}$ die Funktionen $\cos(nx)$ für $x\in[0,\pi]$ genau den Funktionen $\cos(n\arccos(y))$ für $y\in[-1,1]$ enstprechen richtig ?
Damit wäre mein Problem gelöst. :)

Grüße

Edit: Nein, das ist natürlich Quatsch, was ich da eben behauptet habe ! Aber ich brauche bei meiner Aufgabe auch gar nicht, dass die gesamte Funktion transformiert wird - sondern nur einzelne Punkte und damit funktioniert das von mir gewünschte :) Danke nochmals



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3846
Wohnort: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-17 10:28


Ja, im Beispiel hatte ich versehentlich nur \([0,1]\) und \([0,\pi]\) verwendet, weil da schon das Verdrehen sichtbar wird.

"entsprechen" ist in dem Fall wieder eine Bezeichnung, wo nicht klar wird, was damit gemeint ist und worauf es ankommen soll. Die beiden Funktionen <math>\cos(nx)</math> für <math>x\in[0,\pi]</math> und <math>\cos(n\arccos(y))</math> für <math>y\in[-1,1]</math> haben den gleichen Funktionswert, wenn man gleichzeitig \(y\) und \(x=\arccos(y)\) einsetzt. In welcher Reihenfolge y das Intervall \([-1,1]\) durchläuft, ist bei der Definition des Begriffes "Funktion" nicht festgelegt. Es muss nur zu jedem \(y\) genau einen Funktionswert geben.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 10:36


Hi Stefan,

Ja danke dir nochmal, nun ist mir wirklich klar ! Wie gesagt, für meine Aufgabe brauche ich die Transformation ohnehin nur für $n+1$-viele Punkte und da funktioniert das mit der Transformation problemlos :)

Schönes Wochenende



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]