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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Planck'sches Strahlungsgesetz bei würfelförmigem Körper
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Universität/Hochschule Planck'sches Strahlungsgesetz bei würfelförmigem Körper
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-17


Guten Morgen,

ich habe leider ein Problem bei einer Aufgabe bei der es um das Planck'sche Strahlungsgesetz in Bezug auf einen würfelförmigen Körper geht.





Bei (a) bin ich darauf gekommen, dass der Wellenvektor die Form $\vec{k}=\frac{2 \pi}{L} (n_x,n_y,n_z)^T$ mit $n_x,n_y,n_z \in \mathbb{Z}$ haben muss. Bei (b) bin ich mir allerdings unsicher was die Berechnung der Anzahl der erlaubten Moden angeht.

Wenn man sich die erlaubten Wellenvektoren in das durch die Wellenvektoren aufgespannte Koordinatensystem einzeichnet, erhält man ja ein dreidimensionales Gitter aus diskreten Punkten.
Der Abstand zwischen zwei Punkten (entlang der Achsen gemessen) ist $\frac{2 \pi}{L}$. Demnach müsste das kleinste Volumen, das von einem Zustand eingenommen wird, also durch

$$ V_1=\left( \frac{2 \pi}{L} \right)^3
$$
gegeben sein. Das von $N$ Moden eingenommene Volumen kann ich durch das Volumen einer Kugel

$$ V_N=\frac{4}{3} \pi k^3, \ k=|\vec{k}|
$$
annähern. Es gilt die Beziehung $N \ V_1=V_N$. Also

$$ N=\frac{V_N}{V_1}
=\frac{\frac{4}{3} \pi k^3}{\left( \frac{2 \pi}{L} \right)^3}
=\frac{L^3 \ k^3}{6 \pi^2}
$$
Da es zwei Polarisationsrichtungen gibt, ergibt sich die gesuchte Anzahl an Moden pro k-Raum Volumen zu

$$ N=2 \cdot \frac{L^3 \ k^3}{6 \pi^2}=\frac{L^3 \ k^3}{3 \pi^2}.
$$
Nun betrachte ich die Kugelschale der Breite $dk=\frac{d \omega}{c}$. Für das Volumen dieser Kugelschale gilt

$$ V_{\text{Kugelschale}}=4 \pi k^2 dk
$$
Die Anzahl erlaubter Moden in der Kugelschale ergibt sich bei Berücksichtigung der beiden Polarisationsrichtungen zu

$$ dN(k)=2 \frac{V_{\text{Kugelschale}}}{V_1}
=2 \frac{4 \pi k^2 dk}{\left( \frac{2 \pi}{L} \right)^3}
=\frac{L^3 k^2 dk}{\pi^2}
$$
Mit $dk=\frac{d \omega}{c}$ folgt

$$ \frac{L^3 k^2 dk}{\pi^2}=\frac{L^3 \left(\frac{\omega}{c} \right)^2 \frac{d \omega}{c}}{\pi^2}
=\frac{L^3 \omega^2}{\pi^2 c^3} d \omega
$$
also

$$ d N(\omega)=\frac{L^3 \omega^2}{\pi^2 c^3} d \omega \\
\frac{d N(\omega)}{L^3}=\frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} d \omega
$$
Was mich verwirrt, das ist die Formulierung „im Mittel“ die in der Aufgabenstellung vorkommt. Ich verstehe leider nicht, wie diese Mittelung erfolgen soll.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Rathalos
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Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 161
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 00:17


Hallo Mandacus,

Du hast die Zustandsdichte der Schwingungen pro Volumen soweit ich sehe richtig zu \(D(\omega) = \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3}\) bestimmt.

Klassicher Fall: nach dem Gleichverteilungssatz hat jede Mode der Frequenz \(\omega\) in einem harmonischen Oscilator die Energie \(<E> = k_b T\). Dies kannst du natürlich auch durch Zustandssummen im kanonischen Ensemble berechnen.
Daher wäre die Mittlere Energie U der Frequenz \(\omega\) pro Volumen \(U(\omega) = D(\omega) \cdot<E>(\omega) = \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3}k_b T\).

quantenmechanischer Fall analog mit andererer mittlerer Energie <E>.  



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