Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Korrelation von Itô-Integral von Sinus bzw Cosinus
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Korrelation von Itô-Integral von Sinus bzw Cosinus
Axerstein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-17


Einen wunderschönen guten Tag!
Ich komme bei folgendem Beispiel nicht weiter:
Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Brownschen Bewegung $(W(t), t \geq 0) .$ Weiters sei $(\mathcal{F}(t), t \geq 0)$ die natürliche Filtration von $W .$ Sei
$$ X(t)=\int_{0}^{t} \sin (s) d W(s), \quad Y(t)=\int_{0}^{t} \cos (s) d W(s), \quad t \geq 0
$$ Berchnen Sie die Korrelation $\rho(X(t), Y(t))$ für $t>0$.
Ich weiß, dass die Korrelation definiert ist als:
\[
\rho(X(t), Y(t))=\frac{Cov(X(t),Y(t))}{\sqrt{\mathbb V(X(t))}\sqrt{\mathbb V(X(t))}}
\] wobei
$$Cov(X,Y)=\mathbb E[(X-\mathbb E[X])\cdot(Y-\mathbb E[Y])]=\mathbb E[XY]-\mathbb E[X]\mathbb E[Y]$$ Ab dem Erwartungswert komme ich nicht mehr weiter, ich habe versucht Fubini anzuwenden, dann hab ich aber den Erwartungswert von sinus bzw. cosinus und damit kann ich nichts anfangen.
Lg Axerstein



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-17


2021-04-17 16:54 - Axerstein im Themenstart schreibt:
dann hab ich aber den Erwartungswert von sinus bzw. cosinus und damit kann ich nichts anfangen.

Sinus und Cosinus treten doch nur als Vorfaktoren auf. Um so etwas wie $E\bigl[X(t)\,Y(t)\bigr]$ auszurechnen, kannst du zur Itô-Isometrie greifen.

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Axerstein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18


Für $\mathbb{E}[XY]$ kann ich also einsetzen:
$$ \mathbb E[XY]=\mathbb E\left[X(s)Y(s)\right]=\mathbb E\left[\int\limits_0^t\sin(s)\cos(s)ds\right]=\mathbb E\left[\frac{\sin(t)^2}{2}\right]
$$ Wie berechne ich $\mathbb{E}[X]$? Kann ich $\mathbb{E}[(\sqrt{X})^2]$ nehmen und darauf die Itô-Isometrie anwenden?
Also
$$\mathbb E[X]=\mathbb E[(\sqrt{X})^2]=\mathbb E\left[\sqrt{\int\limits_0^t\sin(s)^2ds}\right]=\mathbb E\left[\sqrt{\frac {t - \cos(t) \sin(t)}{2}}\right]$$ Wie kann ich den Erwartungswert von den beiden berechnen?
Lg Axerstein



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3515
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-18


Huhu Axerstein,

der Erwartungswert im letzten Term macht Dir Probleme?
Nun, $\frac12 \sin^2(t)$ hängt nicht von $\omega$ ab ("ist eine deterministische Zufallsvariable"), so dass der Erwatungswert wenig anrichtet...
Es ist ja auch etwa $\mathbb{E} f = 1$ für $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $x \mapsto f(x)=1$.

Allerdings kannst Du $\mathbb{E}[X]$ nicht auf die vorgeschlagene Weise berechnen. Um hier die Ito-Isometrie anzuwenden, müsstest Du etwas in der Art $\mathbb{E}[\sqrt{X^2}]$ betrachten; allerdings ist für die vorliegenden (f.s. nicht überall positiven) Prozesse $X \neq \sqrt{X^2}$ sowie $Y \neq \sqrt{Y^2}$ f.s.
Hier müsstest Du also noch einmal nachdenken.

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-18


2021-04-18 10:02 - Axerstein in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie berechne ich $\mathbb{E}[X]$? Kann ich $\mathbb{E}[(\sqrt{X})^2]$ nehmen und darauf die Itô-Isometrie anwenden?

Die Itô-Isometrie brauchst du nur für quadratische Ausdrücke in den $\mathrm dW$. $\bigl[$Sie entspricht ja der symbolischen Formel $\mathrm dW(t)\,\mathrm dW(s)=\delta(t-s)\,\mathrm dt$.$\bigr]$

Um $E\bigl[X(t)\bigr]=E\bigl[Y(t)\bigr]=0$ zu zeigen, musst du die Linearität des Integrals ausnutzen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Axerstein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18


Danke für die Antworten!
Ich versuche es mit der Reihendarstellung von sinus, cosinus sollte dann analog folgen:
$$ \mathbb E[X]=\mathbb E\left[\int\limits_0^t\sin(s)dW(s)\right]=\mathbb E\left[\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\int\limits_0^tx^{2n+1}dW(x)\right]
$$ Gibt es einen einfachen Weg, wie ich $\int\limits_0^tx^{2n+1}dW(x)$ berechnen kann? Ist das der richtige Ansatz?
Lg Axerstein



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-18


2021-04-18 12:04 - Axerstein in Beitrag No. 5 schreibt:
Ist das der richtige Ansatz?

Nein, die Reihendarstellung bringt dich nicht weiter.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Axerstein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18


Kannst du mir bitte einen Hinweis geben? Ich komme da einfach nicht mehr weiter.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-18


Du brauchst einen Satz, der die Idee$$ E\left[\int_0^t\sin(s)\,\mathrm dW(s)\right] =
\int_0^t\sin(s)\,E\bigl[\mathrm dW(s)\bigr] = 0
$$auf eine stabile Grundlage stellt. So etwas wie hier den Teil 1 der Proposition 4.5.2. auf Seite 100.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3515
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-18


Huhu Axerstein,

mir fallen drei Wege ein, das Gewünschte zu zeigen. Welcher Dir am ehesten liegt, dürfte auch von Deinem Vorwissen abhängen.

(a) Die Martingaleigenschaft der Brown'schen Bewegung überträgt sich auf den Prozess $X$ (Wieso?). Damit hast Du sofort den Erwartungswert.

(b) Mit Hilfe der Ito-Formel kann man sehr einfach eine Darstellung von $X_t+Y_t$ sowie $X_t-Y_t$ finden und daraus die Erwartungswerte folgern.

(c) Ausgehend von der Definition des Ito-Integrals für elementare Funktionen kannst Du Dich vergewissern, dass $X$ und $Y$ (Grenzwerte von) Summen von zentrierten Gaussprozessen sind.

lg, AK

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Axerstein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18


2021-04-18 15:46 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Du brauchst einen Satz, der die Idee$$ E\left[\int_0^t\sin(s)\,\mathrm dW(s)\right] =
\int_0^t\sin(s)\,E\bigl[\mathrm dW(s)\bigr] = 0
$$auf eine stabile Grundlage stellt. So etwas wie hier den Teil 1 der Proposition 4.5.2. auf Seite 100.
So etwas ähnliches haben wir leider nicht in der Vorlesung behandelt.
2021-04-18 15:48 - AnnaKath in Beitrag No. 9 schreibt:
Huhu Axerstein,

mir fallen drei Wege ein, das Gewünschte zu zeigen. Welcher Dir am ehesten liegt, dürfte auch von Deinem Vorwissen abhängen.

(a) Die Martingaleigenschaft der Brown'schen Bewegung überträgt sich auf den Prozess $X$ (Wieso?). Damit hast Du sofort den Erwartungswert.

(b) Mit Hilfe der Ito-Formel kann man sehr einfach eine Darstellung von $X_t+Y_t$ sowie $X_t-Y_t$ finden und daraus die Erwartungswerte folgern.

(c) Ausgehend von der Definition des Ito-Integrals für elementare Funktionen kannst Du Dich vergewissern, dass $X$ und $Y$ (Grenzwerte von) Summen von zentrierten Gaussprozessen sind.

lg, AK

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
(b) hab ich so versucht:
$$F(t,x):=x\sin(t)+x\cos(t)\Rightarrow F_x=\sin(t)+\cos(t),F_t=-x\cos(t)+x\sin(t),F_{xx}=0$$ Also hab ich damit
$$ F(T,W(T))=0+\int_0^T\sin(t)+\cos(t)dW(t)+\int_0^T-W(t)\cos(t)+W(t)\sin(t)dt\Leftrightarrow X_t+Y_t=\int_0^T\sin(t)+\cos(t)dW(t)=W(T)\sin(T)+W(T)\cos(T)-\int_0^T-W(t)\cos(t)+W(t)\sin(t)dt$$ Der Erwartungswert ist
$$\mathbb E[X_t+Y_t]=\mathbb E[\int_0^T\sin(t)+\cos(t)dW(t)]=\mathbb E[W(T)\sin(T)]+\mathbb E[W(T)\cos(T)]-\mathbb E[\int_0^T-W(t)\cos(t)+W(t)\sin(t)dt]=\sin(T)\mathbb E[W(T)]+\cos(T)\mathbb E[W(T)]-\int_0^T\mathbb E[-W(t)\cos(t)+W(t)\sin(t)]dt=0$$ Für $X_t-Y_t$ geht das analog, daraus folgt, dass der Erwartungswert von $X_t,Y_t$ 0 sein muss.
Dabei habe ich bei der letzten Gleichung Fubini verwendet. Ist das so richtig?
Außerdem haben wir in der Vorlesung gelernt, dass für $f\in M^2_t$ die Martingaleigenschaft gilt, also
$$\mathbb E\left[\int_0^tf(r)dW(r)|\mathcal{F}(s)\right]=\int_0^sf(r)dW(r)$$ Ich sehe jedoch nicht, wieso ich daraus den Erwartungswert folgern kann.😷
Lg Axerstein



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3515
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-18


Huhu,

zwar war Deine Berechnung mit Hilfe der Ito-Formel nicht ganz das, was mir vorschwebte (und ist so vielleicht etwas komplizierter), scheint mir aber korrekt.

Mit Hilfe der Martingaleigenschaft* gilt schlicht: $\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}[X_t | X_0 ] = \mathbb{E}[X_0] = 0$ f.s.

lg, AK

*) bzgl. der natürlichen Filtration



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Axerstein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18


Vielen Dank für die Hilfe!
Lg Axerstein



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Axerstein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Axerstein hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]