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Kein bestimmter Bereich Minimales und maximales Element
metabole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-18 16:00


Hallo,

ich habe eine Frage zum Maximalen und Minimalen Element. Laut Wahrheitstabelle wird die Implikation und damit die bikonditionale Definition von "maximales Element" aufgrund der Wahrheitstabelle genau dann falsch, wenn das Antezedens der Implikation wahr und das Sukzedens falsch ist.

W -> F, F

Meine Frage ist nun, wann das Antezedens der Implikation auf der rechten Seite des Bikonditional falsch wird.

Die Definition des Maximalen Elementes ist

\((X, \le)\) sei eine Quasiordnung, \(M \subseteq X\) eine Teilmenge der Grundmenge \(X\). x ist maximales Element von M \(\Longleftrightarrow:\) \(\exists x, \forall y \in M : (x \le y \Rightarrow y \le x)\)

Ich hoffe, daß die Definition syntaktisch korrekt ist. Ich möchte ausdrücken, daß jeweils die Variable x durch den Existenzquantor und die Variable y durch den Allquantor gebunden ist.

Nun noch einmal zur Frage.

Wenn als Menge das Wikipedia-Beispiel der nicht-trivialen Teiler von 36 genommen wird, nämlich M := {2,3,4,6,9,12,18} (de.wikipedia.org/wiki/Maximales_und_minimales_Element) und man für x exemplum gratia 9 und für y := 18 einsetzt, dann erhält man eine wahre Aussage für das Antezedens. Für das Sukzedens hingegen erhält man eine falsche Aussage. Durch ein wahres Antezedens und ein falsches Sukzedens ("Es regnet" ist wahr => "Die Erde ist nass" ist falsch) wird eine Implikation falsch. Damit ist die Definition "maximales Element" falsch: 9 ist kein maximales Element.

ABER: Da y durch den Allquantor gebunden ist, muss y für ein beliebiges x sowohl in Antezedens als auch Sukzedens nicht nur für mindestens ein beliebiges y, sondern für alle y der Menge gelten, - und eben nicht bloss für eins.

D.h. für x := 9
Akzedens:
9 | 2 gilt nicht
9 | 3 gilt nicht
9 | 4 gilt nicht
9 | 6 gilt nicht
9 | 9 (würde gelten)
9 | 12 gilt nicht
9 | 18 gilt

Sukzedens:
 2 | 9 gilt nicht
 3 | 9 gilt
 4 | 9 gilt nicht
 6 | 9 gilt nicht
 9 | (würde gelten)
12 | 9 gilt nicht
18 | 9 gilt nicht

Liege ich richtig damit, daß das Antezedens aufgrund der Variablenbindung mittels Allquantor dann und nur dann wahr ist, wenn die Relation für ein beliebiges x für alle y der Menge \(M\) gilt und nicht nur für eins (- und also das Prädikat "ist ein maximales Element" für x := 9 im obigen Kontext falsch ist) ? Genauso beim Sukzedens... ?

Viele Grüße
μεταβολη



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 01:35

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-04-18 16:00 - metabole im Themenstart schreibt:
Die Definition des Maximalen Elementes ist

\((X, \le)\) sei eine Quasiordnung, \(M \subseteq X\) eine Teilmenge der Grundmenge \(X\). x ist maximales Element von M \(\Longleftrightarrow:\) \(\exists x, \forall y \in M : (x \le y \Rightarrow y \le x)\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
$x$ muss Element von $M$ sein, und der Existenzquantor gehört da nicht hin. Richtig: $x \in M$ ist maximales Element von $M$ $:\Longleftrightarrow \forall y \in M : (x \le y \Rightarrow y \le x)$
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
[...]
Wenn als Menge das Wikipedia-Beispiel der nicht-trivialen Teiler von 36 genommen wird, nämlich M := {2,3,4,6,9,12,18} (de.wikipedia.org/wiki/Maximales_und_minimales_Element) und man für x exemplum gratia 9 und für y := 18 einsetzt, dann erhält man eine wahre Aussage für das Antezedens. Für das Sukzedens hingegen erhält man eine falsche Aussage. Durch ein wahres Antezedens und ein falsches Sukzedens ("Es regnet" ist wahr => "Die Erde ist nass" ist falsch) wird eine Implikation falsch. Damit ist die Definition "maximales Element" falsch: 9 ist kein maximales Element.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ja, 9 ist kein maximales Element. Dass $9 | y \implies y | 9$ nicht für alle $y$ gilt, wird durch $y=18$ belegt.

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
ABER: Da y durch den Allquantor gebunden ist, muss y für ein beliebiges x sowohl in Antezedens als auch Sukzedens nicht nur für mindestens ein beliebiges y, sondern für alle y der Menge gelten, - und eben nicht bloss für eins.

D.h. für x := 9
Akzedens:
9 | 2 gilt nicht
9 | 3 gilt nicht
9 | 4 gilt nicht
9 | 6 gilt nicht
9 | 9 (würde gelten)
9 | 12 gilt nicht
9 | 18 gilt

Sukzedens:
 2 | 9 gilt nicht
 3 | 9 gilt
 4 | 9 gilt nicht
 6 | 9 gilt nicht
 9 | (würde gelten)
12 | 9 gilt nicht
18 | 9 gilt nicht

Liege ich richtig damit, daß das Antezedens aufgrund der Variablenbindung mittels Allquantor dann und nur dann wahr ist, wenn die Relation für ein beliebiges x für alle y der Menge \(M\) gilt und nicht nur für eins (- und also das Prädikat "ist ein maximales Element" für x := 9 im obigen Kontext falsch ist) ? Genauso beim Sukzedens... ?

Viele Grüße
μεταβολη
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Hmm? $\forall y \in M. P(y)$ ist genau dann wahr, wenn $P(y)$ für alle $y \in M$ wahr ist. Das ist unabhängig davon, wie $P$ aussieht. Es kann eine Implikation sein oder auch etwas anderes. Und hier ist $P(y) := x \le y \implies y \le x$.
\(\endgroup\)


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metabole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 09:06


Hallo tactac,

vielen Dank für die syntaktische Korrektur. Es reicht also aus zu schreiben \(x \in M\), damit ist "\(\exists x\)" überflüssig ?

Ja, y := 18 ist als Gegenbeispiel scheinbar hinreichende Bedingung dafür, daß die Aussage falsch ist. Es kommt aber etwas anderes heraus, wenn ich das Antezedens für alle y auf Gültigkeit überprüfe, so wie oben durchgeführt. Bei x := 9 ist das Antezedens für alle Paare (x,y) bestehend aus {\(9 \times M\setminus9\)} falsch. Also F -> F und die Implikation dadurch wahr.

Warum macht nun trotz des Allquantors ein einziges Gegenbeispiel (y := 18) als hinreichende Bedingung die Aussage trotzdem wahr ? Die Aussage x | y gilt in dem Fall ja eben nicht für alle  Elemente \(y \in M\), dual dazu ebensowenig, sondern nur für ein Element. Ich würde daher den Existenzquantor erwarten.

Hat es was mit dem Skopus des Allquantors zu tun. Muss man deshalb die ganze Implikation betrachten und darf nicht nur Antezedens oder Sukzedens für sich betrachten ?

Viele Grüße
μεταβολη



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19 10:18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
* $\forall y.\, (\phi \implies \psi)$ ist im Allgemeinen etwas anderes als $(\forall y.\, \phi) \implies (\forall y.\, \psi)$.
* $\forall y.\, (\phi \implies \psi)$ ist genau dann falsch, wenn $\exists y.\, (\phi\land\lnot\psi)$ wahr ist.
\(\endgroup\)


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metabole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 12:21


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)2021-04-19 10:18 - tactac in Beitrag No. 3 schreibt:
* $\forall y.\, (\phi \implies \psi)$ ist im Allgemeinen etwas anderes als $(\forall y.\, \phi) \implies (\forall y.\, \psi)$.
* $\forall y.\, (\phi \implies \psi)$ ist genau dann falsch, wenn $\exists y.\, (\phi\land\lnot\psi)$ wahr ist.
\(\endgroup\)
Ok, also es geht um den Geltungsbereich des Quantors.
Danke.



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