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Lineare Algebra » Eigenwerte » Wann ist (a-b) ein Eigenvektor?
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Universität/Hochschule J Wann ist (a-b) ein Eigenvektor?
Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-19


Hallo zusammen!

Es gibt leider wieder keine Lösung zu der folgenden Aufgabe und im Internet finde ich auch nichts, also brauche ich mal wieder eure Hilfe:

<math>\text{Es seien } a,b \in V \text{ Eigenvektoren eines Endomorphismus } f:V \rightarrow V. \\ \text{Man untersuche, in welchen Fllen auch a - b ein Eigenvektor von f ist.} </math>

Was ich mir bisher überlegt habe:

1) Es muss <math>a \neq b</math>, weil sonst <math>a-b=0</math> und 0 ist per def. kein Eigenvektor

2) Ang. <math>\lambda_1, \lambda_2</math> sind die Eigenwerte zu a, b.
Falls <math>\lambda_1 = \lambda_2 </math>, ist <math>\lambda_1, \lambda_2</math> auch Eigenwert zu (a-b), weil <math>f(a-b) = f(a)-f(b) = \lambda_1a - \lambda_1b = \lambda_1(a-b)</math>

3) Ich glaube, für <math>\lambda_1 \neq \lambda_2</math> kann (a-b) kein Eigenvektor sein. Begründung:

Es müsste sonst ein <math>\lambda_3</math> geben, sodass <math>\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b</math>, also <math>(a-b) \in V_{\lambda_1} + V_{\lambda_2}</math>, aber dann ist (a-b) schon in einem der Eigenräume enthalten, weil nur die 0 in der Schnittmenge liegt, also <math>\lambda_1 = \lambda_3</math> oder <math>\lambda_2 = \lambda_3</math>.


Hab jetzt beim Schreiben noch einiges an meiner ursprünglichen Lösung geändert, bin jetzt etwas zufriedener damit, aber die Frage ist ja, ob das so richtig ist😄
Hab für das ganze Thema noch wenig Gefühl, freue mich über Bestätigung oder wenn ihr mir sagt, wo ich nochmal nachdenken sollte.

LG Tim



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19


Hallo Talvin,

2021-04-19 11:38 - Talvin im Themenstart schreibt:
aber dann ist (a-b) schon in einem der Eigenräume enthalten, weil nur die 0 in der Schnittmenge liegt, also <math>\lambda_1 = \lambda_3</math> oder <math>\lambda_2 = \lambda_3</math>.

Das Argument habe ich noch nicht verstanden.

Aber was kannst du denn noch aus \(\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b\) folgern?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

ich denke, deine Aussage ist korrekt und deine Ausführungen (fast) richtig.

Geometrisch gesehen läuft das auf die (in meine Augen evidente) Interpretation hinaus, dass die Differenz zweier Eigenvektoren (genauso wie die Summe) genau dann wieder Eigenvektor ist, wenn \(a\) und \(b\) im gleichen Eigenraum liegen. Das hast du mit deiner Forderung \(\lambda_1=\lambda_2\) ja bereits zum Ausdruck gebracht.

Und mit Punkt 3) zeigst du dann, dass im anderen Fall eben die Differenz kein Eigenvektor sein kann.

Nachtrag: die Experten haben recht (😉): über die Begründung zu Punkt 3) musst du nochmal nachdenken.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Hi,

2021-04-19 11:38 - Talvin im Themenstart schreibt:
Es müsste sonst ein <math>\lambda_3</math> geben, sodass <math>\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b</math>, also <math>(a-b) \in V_{\lambda_1} + V_{\lambda_2}</math>, aber dann ist (a-b) schon in einem der Eigenräume enthalten, weil nur die 0 in der Schnittmenge liegt, also <math>\lambda_1 = \lambda_3</math> oder <math>\lambda_2 = \lambda_3</math>.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Mir ist deine Begründung hier nicht klar. (Es gibt in $E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2}$ Elemente, die weder in $E_{\lambda_1}$, noch in $E_{\lambda_2}$ enthalten sind.)

Der Rest sieht gut aus. :)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


Hups, als Generalannahme für alle Aufgaben war noch gefordert, dass V ein endlichdimensionaler K-VR ist.

Dann klappt die Argumentation so, oder nicht?
Es war zumindest ein Satz im Buch, dass für paarw. verschiedene Eigenwerte die Summe der Eigenräume eine direkte Summe ist, weil die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind. Dann wäre der Schnitt der Eigenräume also 0 und die Aussage würde folgen, wie ich es geschrieben habe, oder?

Bei dem Versuch, die Aussage anders aus <math>\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b</math> zu folgern, hab ich mir leider bisher die Zähne ausgebissen, werde es aber noch ein bisschen weiter versuchen.

LG Tim



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-19


2021-04-19 14:35 - Talvin in Beitrag No. 4 schreibt:
Bei dem Versuch, die Aussage anders aus <math>\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b</math> zu folgern, hab ich mir leider bisher die Zähne ausgebissen, werde es aber noch ein bisschen weiter versuchen.

Versuch mal, alles mit a auf die eine und alles mit b auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen und dann nach a oder b aufzulösen.

Dein anderes Argument verstehe ich leider immer noch nicht.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Meinst du vielleicht, dass $E_{\lambda_3} \cap (E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2}) = 0$ gilt für $\lambda_3 \neq \lambda_1, \lambda_2$? Dann ja, dein Beweis funktioniert. :)
Vielleicht würde es aber helfen, wenn du diesen Schritt genauer ausschreibst (wie ich es gerade getan habe), denn wie du siehst, führt das zu Verwirrung. Mir z.B. war nicht klar, welchen Schnitt du gemeint hast.

(Für die Aussage brauchst du keine Endlich-Dimensionalität.)


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Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


Danke für die Hinweise erstmal!

Ich merke jetzt auch, dass das Ganze von mir sehr konfus war, entschuldigung.

Unter den Annahmen von 3), also <math>\lambda_1 \neq \lambda_2</math> folgt zunächst einmal, dass <math>\lambda_3 \neq \lambda_1,\lambda_2</math>, weil man sonst, etwa für <math>\lambda_3 = \lambda_1</math> aus der viel zitierten Gleichung

<math>\lambda_1a-\lambda_2b = f(a-b) = \lambda_3(a-b) = \lambda_1a - \lambda_1b</math>,

also <math>\lambda_1 = \lambda_2</math> erhält.
Das war glaube ich der wichtige Teil, der gefehlt hat.


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)2021-04-19 15:11 - Kezer in Beitrag No. 6 schreibt:
Meinst du vielleicht, dass <math>E_{\lambda_3} \cap (E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2}) = 0</math> gilt für <math>\lambda_3 \neq \lambda_1, \lambda_2</math>?
\(\endgroup\)


Für die Aussage benutzt du in etwa den Satz bzw. die Argumente die ich im letzten Beitrag beschrieben habe, nicht? (Also die lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten und daraus folgend, dass die Summe der entspr. Eigenräume direkt ist)

Jedenfalls folgt dann damit, dass (a-b) keine Linearkombination von a und b sein kann, im Wiederspruch zu <math>\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b</math> und das ist das Argument, wenn ich richtig verstehe?

Ich meinte das ähnlich, nur quasi andersrum, also wenn es eine Linearkombination wäre, wäre (a-b) in der direkten Summe der Eigenräume von <math>\lambda_1</math> und <math>\lambda_2</math> und es folgt dann der Widerspruch, dass daraus <math>\lambda_3 = \lambda_1</math> oder <math>\lambda_3 = \lambda_2</math> folgt.
(Wenn <math>V_{\lambda_3} \cap (V_{\lambda_1} + V_{\lambda_2}) = 0</math> gilt, müsste doch auch <math>V_{\lambda_1} \cap V_{\lambda_2} = 0</math> gelten (s.o.), sonst sag bitte nochmal warum nicht, weil ich erklär mir beides wie gesagt bisher mit der gleichen Argumentation).


2021-04-19 14:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5 schreibt:
Versuch mal, alles mit a auf die eine und alles mit b auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen und dann nach a oder b aufzulösen.

Meintest du das damit, dass man darauf kommt, dass notwendig <math>\lambda_3 \neq \lambda_1,\lambda_2</math> folgt, damit man dann weiter argumentieren kann?

LG Tim






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ochen
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Hallo,

vielleicht ist es einfacher, wenn du am Anfang unterscheidest, ob $a$ und $b$ linear unabhängig oder linear abhängig sind.

In beiden Fällen ist die Gleichung $\lambda_1a-\lambda_2b=\lambda_3(a-b)$ äquivalent zu $(\lambda_1-\lambda_3)a+(\lambda_3-\lambda_2)b=0$. Jetzt untersuche, was passiert, wenn $a$ und $b$ linear unabhängig sind.

Der Fall, dass $a$ und $b$ linear abhängig sind, ist sogar noch einfacher.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
2021-04-19 17:49 - Talvin in Beitrag No. 7 schreibt:
Für die Aussage benutzt du in etwa den Satz bzw. die Argumente die ich im letzten Beitrag beschrieben habe, nicht? (Also die lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten und daraus folgend, dass die Summe der entspr. Eigenräume direkt ist)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Ja.

2021-04-19 17:49 - Talvin in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn <math>V_{\lambda_3} \cap (V_{\lambda_1} + V_{\lambda_2}) = 0</math> gilt, müsste doch auch <math>V_{\lambda_1} \cap V_{\lambda_2} = 0</math> gelten (s.o.)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Ja.

2021-04-19 17:49 - Talvin in Beitrag No. 7 schreibt:
Jedenfalls folgt dann damit, dass (a-b) keine Linearkombination von a und b sein kann, im Wiederspruch zu <math>\lambda_3(a-b) = f(a-b) = \lambda_1a - \lambda_2b</math> und das ist das Argument, wenn ich richtig verstehe?

Ich meinte das ähnlich, nur quasi andersrum, also wenn es eine Linearkombination wäre, wäre (a-b) in der direkten Summe der Eigenräume von <math>\lambda_1</math> und <math>\lambda_2</math> und es folgt dann der Widerspruch, dass daraus <math>\lambda_3 = \lambda_1</math> oder <math>\lambda_3 = \lambda_2</math> folgt.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Ich glaube, du bringst die Terminologie ein bisschen durcheinander. Der Term $a-b = 1 \cdot a - 1 \cdot b$ ist per Konstruktion immer eine Linearkombination von $a$ und $b$.

Es geht um das Folgende: Sei $a-b$ ein Eigenvektor mit Eigenwert $\lambda_3$, also $a-b \in E_{\lambda_3}$. Per Konstruktion ist $a-b \in E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2}$. Folglich gilt $$ a-b \in E_{\lambda_3} \cap (E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2})$$ und das ist nicht-trivial genau dann, wenn $\lambda_3 \in \{\lambda_1, \lambda_2 \}$.


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Talvin
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@Kezer
Vielen Dank, das hat mir alles sehr weitergeholfen 👍


@ochen
Falls a,b linear abhängig sind, können die Eigenwerte ja nicht verschieden sein, das wäre dann Fall 2) vom ersten Beitrag.

Falls a,b linear unabhängig sind, folgt dann mit deiner Gleichung sofort <math>\lambda_3 = \lambda_1</math> und <math>\lambda_3 = \lambda_2</math>, weil die Koeffizienten von a und b verschwinden.
Das war es vielleicht auch worauf @StrgAltEntf hinaus wollte.

Danke an alle nochmal, eine coole Sache dieses Forum 🙂

LG Tim



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StrgAltEntf
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2021-04-19 18:46 - Talvin in Beitrag No. 10 schreibt:
Das war es vielleicht auch worauf @StrgAltEntf hinaus wollte.

Ja, so ist es. Wenn \((\lambda_1-\lambda_3)a=(\lambda_2-\lambda_3)b\), dann ist im Fall 3 \(a=\mu b\) mit \(\mu=\frac{\lambda_2-\lambda_3}{\lambda_1-\lambda_3}\). (OBdA sei \(\lambda_1\neq\lambda_3\).) Wenn b ein EV zum EW \(\lambda_2\), dann also auch a, was ein Widerspruch zu \(\lambda_1\neq\lambda_2\) ist.



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