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Physik » Mathematische Physik » Variationsrechnung; Herleitung Euler-Lagrange-Funktion
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Universität/Hochschule J Variationsrechnung; Herleitung Euler-Lagrange-Funktion
S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-21 18:40


Hallo zusammen,

das Semester 2 hat frisch begonnen und schon kommt es zu den ersten Fragen.
Bei der Herleitung von der Euler-Lagrange-Gleichung beschäftigen wir uns mit Funktionalen bzw. Wirkungsfunktionalen. Anscheinend beschreibt die Extremalisierung dieser Funktion physikalische Prozesse (?).
Wir haben mit  der Gleichung:
\(F[y] = \int_0^1 dx f(y(x),y´(x),x)\)
Dann ist gegeben, dass y(0) = y(1) = 0, das Extremum liegt bei \(y=y_0\) dazu nehmen wir dann noch ein \( \delta y\) mit \(\delta y(0) = \delta y (1) = 0\) ist eine 2 fach diff bare Funktion.
Nun betrachten wir \(y_\alpha = y_0 + \alpha \delta y\).
Hier stellt sich für mich die Frage, warum wir ein \(\alpha \delta y\) dazu nehmen. Ich finde es komisch zu sagen, dass wir unser Wirkungsfunktional bei \(y_0\) extrem/stationär haben wollen und dann von unserem Extremum abweichen.
In unserer Herleitung taylorn wir um \(\alpha = 0\). Haben wir dann mit dem \(\alpha\) nicht eine Funktionenschar, die F[y] nur dann extremalisiert, wenn \(\alpha = 0\) ? was bringt mir dann meine  Abweichung und die Taylorentwicklung bis zur linearen Ordnung?

Ich hoffe es ist grob klar, was ich meine.


Schöne Grüße
S3bi



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21 20:47


Hallo S3bi,

Wir nehmen an, das Funktional habe ein Extremum bei \(y_0\). Nun nehmen wir eine beliebige Variation/Funktion \(\delta y\), deren Variation am Rand $0$ ist und schreiben beliebige Funktionen einfach als \(y = y_0 + \alpha \delta y\). Das Funktional ist dann gegeben zu \(F[y] = F[y_0+\alpha \delta y]\). Betrachten wir nun die Funktion \(\alpha \rightarrow F[y_0+\alpha \delta y]\), stellen wir fest, dass diese Funktion ein Extremum bei \(\alpha = 0\) nach Konstruktion besitzt. Daher muss die Ableitung an der Stelle \(\alpha = 0\) Null sein \(\frac{d}{d \alpha}|_{\alpha = 0} F[y_0+\alpha \cdot \delta y] = 0\).




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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21 20:53


Hallo Rathalos,

die Rechnung ist mir an sich klar. Mich irritiert, wozu ich eine Variation brauche. Ich habe ja bei \(y_0 \) mein Funktional schon extrem, wozu brauche ich eine Abweichung?

Schöne Grüße
S3bi



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-21 21:06


Hallo S3bi,

Du hast zwar bei \(y_0\) dein Funktional extrem, jedoch hast du kein Plan wie \(y_0\) aussieht. Für Funktionale Extremas zu bestimmen ist ja nicht das gleiche wie Funktionen Extremas zu bestimmen.

Daher musst du dir Tricks überlegen, wie du \(y_0\) bestimmen kannst. Dies erreichst du bei diesen Ansatz, indem du dein Funktional auf eine Funktion führst die bei \(\alpha = 0\) ein Extremum hat. Möglichst einfach dazu ist es einfach für \(\alpha \neq 0\) Funktionen $y$ zu wählen, die das Funktional nicht extremisieren. Dies wird einfach elegant durch die Abweichungen vom Minimum erreicht und liefert dir eine schöne Formel.
Was willst du denn mehr?

Warum beliebige Abweichungen angenommen werden, wird spätestens in der Rechnung klar, wenn du für dein Funktional das Integral einsetzt um eine Differentialgleichung für \(y_0\) zu bekommen.



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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-22 13:49


Hallo Rathalos,

also wir gestalten eigentlich eine allgemeine Funktion und haben aber vorher festgelegt, dass sie ein Extremum bei \(y_0\) hat?

Für mich sind irgendwie Funktionale kombinationen aus Funktionen, also mit dernen Ableitungen, Integralen uvm. Und da stell ich mir bisher das relativ analog zu Funktionen vor. Irgendwie kann ich mir nicht so vorstellen (wie bei Funktionen graphisch), dass eine Funktion ein Funktional extremalisieren kann.

Ich gebe zu wir bekommen eine sehr schöne Formel, aber irgendwie fehlt mir dabei das Intuitive, das Anschauliche.

Gibt es schöne Beispiele, wie man sich das alles vorstellen kann?

Schöne Grüße
S3bi



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-22 22:35


Hallo S3bi,

Genau wir nehmen an, dass es ein Extremum hat und dann gilt erst unsere Formel. Dies ist analog zu notwendiger und hinreichender Bedingung für lokale Maximas differenzierbarer Funktionen.


Und da stell ich mir bisher das relativ analog zu Funktionen vor.

Was heißt es denn für dich, dass ein Funktional stetig oder diffenzierbar ist? Betrachte das Funktional \(F[y] = \int _0 ^1 y'(x)^2 + x\cdot y dx\). Ist das Funktional stetig und diffenzierbar?. Welches \(y(x) \) minimiert denn F?. Man kann das zwar alles definieren, aber ich würde persöhnlich nicht das alles abhandeln mit "analog zu (reelen/komplexen) Funktionen". Dabei sollte man aufpassen mit unserer Bezeichnung, weil Funktionale auch Funktionen sind.


Ich gebe zu wir bekommen eine sehr schöne Formel, aber irgendwie fehlt mir dabei das Intuitive, das Anschauliche.
Gibt es schöne Beispiele, wie man sich das alles vorstellen kann?

Das Fehlen der Intuition ist auch ein Problem von mir und schwer allgemein zu beantworten, da Funktionale sehr weit gefächert sind.

Bei Fermat's principle ist die Anschauung natürlich klar, dass das Licht den Weg der "kürzesten" (besser stationären) Zeit nimmt. Für homogene Stoffe ist das natürliche eine Gerade.
Da Licht in verschiedenen Medien sich unterschiedlich schnell ausbreitet, wird das Licht an Grenzen von Flächen mit unterschiedlichen Medien oder Stoffen mit inhomogenen Brechungsindex sich so krümmen, dass das Ziel in kürzester Zeit erreicht wird. Dann hat man natürlich die Intuition, dass im Falle von zwei Medien, das Licht natürlich möglichst wenig Strecke im Medium langsamer Lichtgeschwindigkeit zurücklegen möchte und "Ansätze" für Wege kann man gut zeichnen.

Aber wie genau man das Funktional minimiert finde ich nicht anschaulich. Meistens ist das Funktional(kürzeste Zeit, Strecke, Frei Energie) anschaulich, jedoch das Minimieren für mich nicht.




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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-24 09:35


Hallo Rathalos,


Was heißt es denn für dich, dass ein Funktional stetig oder diffenzierbar ist?
Also wirklich definiert haben wir das in der Theoretischen Physik nicht.  Ich hätte halt "einfach" gesagt, dass stetig, sowas wie durchgängig definiert und differenzierbar, dass eine Ableitung existiert.
Ich hatte kein Analysis.

Dann muss ich mal noch gucken, wie ich mir das mit den Funktionalen besser vorstellen kann.

Es macht vieles einfacher, wenn man ein Gefühl dafür hat, was man da gerade tut.

Fermat und das Brechungsgesetz müssen wir jetzt in einer Übungsaufgabe herleiten :)

Aber die Idee kannt man aus der Schule.

Vielen Dank!



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