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Mechanik » Theoretische Mechanik » Zug im Tal, Lagrange Funktion
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Universität/Hochschule J Zug im Tal, Lagrange Funktion
jlw
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  Themenstart: 2021-05-01

Hallo, ich habe folgende Aufgabe: "Ein dünnes homogenes Seil mit fester Länge \(L_S\) und Gesamtmasse \(m\) rutscht ohne Reibung auf einer V-förmigen Bahn und kann sich nur entlang dieser Bahn bewegen. Einzige Kraft ist die Schwerkraft." Man soll nun passende Koordinaten wählen, dann potentielle und kinetische Energie angeben und anschließend die Lagrange-Funktion mit Bewegungsgleichungen angeben und diese lösen. Laut Hinweis handelt es sich um eine harmonische Schwingung, aber das sehe ich nicht ganz ein: Die Beschleunigung des Schwerpunkts hängt doch einzig und allein davon ab, auf welcher Seite des Tals er ist, die Auslenkung (bzw. der Betrag davon) ist dafür komplett egal. Ich bin auch jetzt mit mehreren Ansätzen gescheitert, finde den/die Fehler aber nicht: Erster Versuch, war als Koordinate \(s\), den Abstand des Seilschwerpunkts von der Mitte/Spitze des Tals, zu verwenden (rechts ist positiv). Damit ergibt sich \(T=\frac{1}{2}m\dot{s}^2\). Für V zuerst der Fall, dass das Seil komplett auf der rechten Seite ist: \(V = \int_{s-\frac{L_S}{2}}^{s+\frac{L_S}{2}} \frac{m}{L_S}g\cdot sin(\theta)\cdot z \,dz =mgs\cdot sin(\theta)\). Analog ergibt sich für komplett auf der linken Seite \(V=-mgs\cdot sin(\theta)\). Für den Fall, dass das Seil zeitgleich auf beiden Seiten des Tals ist, ergeben sich genau die selben Gl. wie oben (in Abhängigkeit davon, ob \(s\) negativ oder positiv ist). Das ergibt für mich auch Sinn, da für die potentielle Energie nur die Seite des Schwerpunkts, Masse und Winkel relevant sind. Dann ist die Lagrange-Funktion allerdings auch abhängig vom Vorzeichen von \(s\) und die Euler-Lagrange-Gleichungen führen zu \(\ddot{s}=-sgn(s)g\cdot sin(\theta)\). Diese soll man nun lösen unter den Anfangsbedingungen, dass das Seil zu Beginn bewegungslos mit einem Ende in der Mitte steht. Problem ist jetzt, dass das nicht sinnvoll lösbar ist, da sich hier für \(s\) Parabeln ergeben, die jedoch immer nur stückweise definiert sind und nach jedem Überqueren des Nullpunkts neu berechnet werden müssen. Insbesondere ergibt sich keine harmonische Schwingung, wie in der Aufgabe behauptet. Kann mir bitte jemand helfen? Grüße


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jlw
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

Das Ganze hat sich mittlerweile geklärt. Wir haben dummerweise die potentielle Energie der rechten Seite von der der linken Seite abgezogen und sie nicht addiert. Dadurch kamen die Fehler zustande, nun geht alles.


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