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Analysis » Integration » Masse eine Kegels mit bestimmter Grundfläche
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Universität/Hochschule J Masse eine Kegels mit bestimmter Grundfläche
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Es geht um den Ellipsenkegel, welcher im zweiten Teil der Aufgabe besprochen wird.
Ich weiß, dass für die Masse gilt:
\[m=\int_{0}^{2}{\rho (z)\cdot A(z)\on{dz}}\] Ich vermute mal der Kegel hat die gleiche Höhe wie der erste Kegel, also eine Höhe von 2. Die Gleichung für die Dichte ist auch dieselbe, nur brauche ich jetzt eine Gleichung für den Flächeninhalt. Beim ersten Kegel war das noch recht einfach, da der Querschnitt immer ein Kreis war, der zweite Kegel hat diese Eigenschaft eben nicht mehr...

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

das ist Schulwissen: der Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen \(a\) und \(b\) ist \(A=\pi\cdot a\cdot b\).

Die Längen der Halbachsen der Grundfläche kannst du der Ungleichung entnehmen, welche diese Grundfläche berschreibt.

Was die Halbachsen auf dem Weg nach oben machen, sollte klar sein (-> Strahlensatz). Und damit auch die Fläche \(A(z)\).

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-05-02 10:20 - Spedex im Themenstart schreibt:
...der zweite Kegel hat diese Eigenschaft eben nicht mehr...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Da ist es eben jeweils eine Ellipse. Beachte in dem Zusammenhang den Hinweis, Polarkoordinaten zu verwenden.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]
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sarose
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-02


Versuche das doch mit Hilfe eines Mehrfachintegrals. Die Polarkoordinaten sind ja ein Hinweis darauf, dass das verlangt ist.





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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, jetzt mal abgesehen von den Polarkoordinaten. Ich komme auf ein Ergebnis, weiß allerdings nicht ob das stimmt, gestern wurde mir nämlich ein anderes gesagt. Ich komme auf \(16\pi\), gesagt wurde mir etwas von \(2\pi\).
Sei h der Abstand zwischen Grundfläche und gewisser Querschnittsfläche im Kegel.
Dann lautet mein Strahlensatz:
\[\frac {A_1} {A_2} = \frac {2-h_1} {2-h_2}\] Setzt man nun \(h_1\) gleich 0, bezieht es also auf die Grundfläche, dann ist \(A_1=\pi\cdot 4\cdot 2=8\pi\)
Daraus folgt:
\[A(z)=4\pi*(2-z)\]
Das Integral ist dann also:
\[m=\int_{0}^{2}{ 4\pi \cdot (2-z) \cdot \frac{1}{1-\frac z 2} \on{dz}}=16\pi\]
Das Integral sollte an sich auf jeden Fall stimmen, wenn dann liegt der Fehler vermutlich beim Strahlensatz, liege ich da richtig?

Liebe Grüße
Spedex

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-02


Hallo Spedex,

du hast da einen Denkfehler drin. Die beiden Halbachsen nehmen auf dem Weg nach oben schon linear ab, die Fläche jedoch quadratisch. Das musst du ersteinmal geeignet umsetzen...


Gruß, Diophant



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, ich komme jetzt auf folgende Strahlensätzen für \(a(z)\) und \(b(z)\):
\[a(z)=2\cdot (2-z)\] \[b(z)=2-z\] Dadurch ergibt sich:
\[A(z)=\pi \cdot a(z)\cdot b(z)=\pi \cdot 2 \cdot (2-z)^2\]
Durch Integration erhalte ich nun ein Volumen von \(8\pi\).

Stimmt das nun?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-05-02 11:55 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
Ok, ich komme jetzt auf folgende Strahlensätzen für \(a(z)\) und \(b(z)\):
\[a(z)=2\cdot (2-z)\] \[b(z)=2-z\] Dadurch ergibt sich:
\[A(z)=\pi \cdot a(z)\cdot b(z)=\pi \cdot 2 \cdot (2-z)^2\]
Durch Integration erhalte ich nun ein Volumen von \(8\pi\).

Stimmt das nun?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein. Die Halbachse \(b(z)\) hätte in dieser Variante in der Grundebene ja die Länge 2.

Und dein nächster Irrtum ist der, dass die Halbachse \(a\) in der Grundebene die Länge 4 hätte. Schlage mal das Thema Ellipsengleichungen nochmal nach. Die Halbachsen sind hier \(a=2\) und \(b=1\).



Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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sarose
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-02


ich glaube dein Strahlensatz ist falsch. Ich habe gelernt, dass man Strecken im Verhältnis setzt. Ich würde die Höhe des Kegels und die Halbachsen a bzw. b ins Verhältnis setzen. Mit dem Flächeninhalt geht es glaube ich nicht.


Das ist Quatsch: Sorry, einfach ignorieren: Auch von den Einheiten würde es nicht passen, da links keine Einheit und rechts eine Längeneinheit.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ah, da lag das Problem. Ich habe angenommen, dass \(a=4\) und \(b=2\), also das doppelte der eigentlichen Werten, dadurch ergab sich das vierfache der eigentlichen Masse. Nun komme ich auf eine Masse von \(2\pi\).

Vielen Dank und liebe Grüße
Spedex
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