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Universität/Hochschule Konvergenz von Funktionenfolgen
markussss
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.02.2021
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-02




Wie geht man hier vor, und es wäre ein sauber aufgeschriebener Lösungsweg(natürlich mit kurzer Erklärung) sehr hilfreich.
Danke im Voraus !



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9223
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Markus,

am besten beginnst du damit, die Graphen der ersten \( f_n\) zu skizzieren und die Kurvenlänge auszurechnen.

Vielleicht erhälst du damit eine brauchbare Rekursionsformel und erkennst die Grenzfunktion.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Riemannifold
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.05.2021
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-02


Behauptung: Die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion
$$f(x) \mapsto \begin{cases} 0 & x = 0 \\ |2nx - 1| & \frac{1}{2n+1} \leq
x\leq \frac{1}{2n-1}, n\in\mathbb{N} \end{cases}.$$ Beweis: Die Funktion $f$ ist stetig. (Das ist streng genommen auch zu beweisen.) Zum Beweis der punktweisen Konvergenz:

Es gilt zunächst $|f_n(0) - f(0)| = 0 < \varepsilon$. Sei jetzt $0 < x \leq 1$. Dann gibt es ein $N\in\mathbb{N}$ mit $\frac{1}{2N+1}\leq x\leq\frac{1}{2N-1}.$ Es folgt für alle $n\geq N$: $$|f_n(x) - f(x)| = 0 < \varepsilon$$ denn die Rekursionsvorschrift sagt, dass $f_n$ mit $f$ auf dem Intervall
$[\frac{1}{2n+1},1]$ übereinstimmt.
Da obiges für alle $\varepsilon > 0$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen $f$.

Für das Supremum: Es ist $f(x) = f_n(x)$ auf $[\frac{1}{2n+1},1]$.
Da $f_n(x) = 0$ für $0\leq x \leq \frac{1}{2n+1}$ ist, betrachte also
$$\sup_{x\in[0,\frac{1}{2n+1}]}|f(x)|.$$ Wir untersuchen $f$ auf dem Intervall $[\frac{1}{2m+1},\frac{1}{2m-1}]$ für $m \geq n$ und erkennen, dass $f$ monton fallend auf $[\frac{1}{2m+1},\frac{1}{2m}]$ ist und monoton steigend auf $[\frac{1}{2m},\frac{1}{2m-1}]$ mit einer Nullstelle bei $\frac{1}{2m}$. Das Supremum befindet sich demnach an der Grenze eines solchen Intervalls, genauer gesagt haben wir
$$\sup_{x\in[0,\frac{1}{2n+1}]}|f(x)| = |f(\frac{1}{2n+1})| =
\frac{1}{2n+1}$$ und damit folgt die gleichmäßige Stetigkeit.



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