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Universität/Hochschule J Biholomorphe Abbildungen in die Einheitsdisk
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-05

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Guten Abend miteinander

Ich tue mich mit folgender Aufgabe schwer:
Finde eine biholomorphe Abbildung $f: \Omega_1 \to \mathbb{D}$ mit Werten in der offenen Einheitsdisk $\mathbb{D}=\{z \in \C \mid |z|<1\}$ für
\[
    \begin{align*}
        \Omega_1 &= \{ z \in \C \mid \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z) < 2 \}
    \end{align*}
\] Ich habe die Cayley-Transformation $T:\mathbb{H}\to \mathbb{D},T(z)=\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}},$ zur Verfügung, und vermute, dass ich quasi die Menge $\Omega_1$ biholomorph um den Ursprung auf die obere Halbebene $\mathbb{H}$ "drehen" müsste (also mit etwas in der Art von $\Omega_1 \to \mathbb{H},z \mapsto |z|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\arg(z)-\frac{3\pi}{4}\right)}$), um dann die Cayley-Transformation zu verwenden.

Gibt's für diese Aufgabe einen allgemeinen Trick, wie man systematisch von gegebenem $\Omega$ auf eine Abbildung $f$ kommt, oder läuft es tatsächlich auf Herumbasteln heraus, bis was funktioniert?🤔
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-05


Hallo,

$\Omega_1$ ist doch eine offener Halbebene so wie $\mathbb H$ auch.

Vielleicht kannst du eine affine Abbildung finden, die $\Omega_1$ auf $\mathbb H$ abbildet.


Achso, das hattest du ja sogar so ungefähr geschrieben. Wir drehen um 225° und verschieben danach nach oben oder unten...

Drehen um 225° ist $z\mapsto -\frac{1+i}{\sqrt 2}z$



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05

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Lieber ochen

Ach, logo. In Polardarstellung ist deine Drehabbildung plötzlich selbsterklärend. Danke dir!🤗

Ich versuche es mal:
Sei $h:\Omega \to \mathbb{H}$, $h(z):= - \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z$ deine Drehabbildung. Unter Verwendung der Cayley-Transformation müsste dann $f:\Omega \to \mathbb{D}$, definiert als $f(z):=(T \circ h)(z)$, eine gewünschte Abbildung sein; explizit lautet diese
\[
\begin{align*}
f(z) = \frac{\left( - \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z \right)-\mathrm{i}}{\left( - \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z \right) + \mathrm{i}}
\end{align*}
\]
Stimmt das so weit?
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-05


Nicht ganz, denn du musst die Halbebene nach der Drehung noch um $\sqrt\ldots$ nach oben schieben.



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05

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2021-05-05 22:21 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
Nicht ganz, denn du musst die Halbebene nach der Drehung noch um $\sqrt\ldots$ nach oben schieben.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Also definiere ich $h(z) := -\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z + \sqrt{2}$ ?🤔
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-06


Das sieht gut aus :) Aber es fehlt ein i.



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