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Analysis » Integration » Analysis 2: Hyperbolische Spirale: Rektifizierbarkeit
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Universität/Hochschule Analysis 2: Hyperbolische Spirale: Rektifizierbarkeit
subzer0
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-09


Hallo!

Ich sitze schon seit längerem an der Aufgabe, dass gezeigt werden soll, dass die hyperbolische Spirale nicht rektifizierbar ist.
Ich habe selbst gerechnet, das Ergebnis dann mit einem Programm bestätigen lassen, komme nicht weiter. Laut Programm (habe drauf geschielt) kommt da ein Monstrum raus, bei dem der sinh Bestandteil ist.
Kann mir jemand helfen? Ich wollte das bestimmte Integral 0 bis b berechnen und am Ende dann b gegen unendlich laufen lassen. Geht es einfacher?

Ich habe oft gesehen, dass die Polygonzüge bei solchen Beweisen einfach mit der harmonischen Reihe abgeschätzt werden, klappt das hier, wenn ja, bitte ich um etwas Hilfe.

Meine bisherige Lösung:


Nebenbei:
- Warum schneidet die hyperbolische Spirale eigentlich den Punkt (0,1)€R^2 eigentlich nicht? sin(t)/t geht mit den Regeln des L'Hospital gegen 1 für t gegen Null.



Danke.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09


Hallo subzer0,
warum soll der Graph durch den Punkt (0,1) gehen? Für t gegen Null geht sin(t)/t gegen 1 und cos(t)/t gegen unendlich. Das ist gleichzeitig auch ein Ansatzpunkt, um Bogenlänge gegen unendlich zu zeigen: Für zwei positive reelle Zahlen a und b ist die Bogenlänge zwischen den Kurvenpunkten für t=a und t=b größergleich dem Abstand dieser beiden Kurvenpunkte (Gerade ist kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten) und dieser Abstand geht gegen unendlich für a gegen 0.

Viele Grüße,
  Stefan



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subzer0
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09


2021-05-09 06:52 - StefanVogel in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo subzer0,
warum soll der Graph durch den Punkt (0,1) gehen? Für t gegen Null geht sin(t)/t gegen 1 und cos(t)/t gegen unendlich. Das ist gleichzeitig auch ein Ansatzpunkt, um Bogenlänge gegen unendlich zu zeigen: Für zwei positive reelle Zahlen a und b ist die Bogenlänge zwischen den Kurvenpunkten für t=a und t=b größergleich dem Abstand dieser beiden Kurvenpunkte (Gerade ist kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten) und dieser Abstand geht gegen unendlich für a gegen 0.

Viele Grüße,
  Stefan


Ich weiß nicht, ob man das so aufschreiben darf.
oder müsste ich mir noch eine Unterteilung ausdenken und das ganz formal aufschreiben?



Man kann an der zweidimensionalen Graphrepresentation (siehe oben Bild) gar nicht erkennen, für welche t sich welche Werte der Kurve ergeben. Sollte man Graphen von Kurven in den R^2 dann nicht eigentlich im 3-dim. Raum zeichnen?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-09


Als Bezeichnung für Grenzwert Unendlich verwende lieber bestimmte Divergenz oder uneigentliche Konvergenz. Für t gegen Null konvergiert der Graph nicht gegen irgendein (a,1) für reelle a. Er nähert sich erst jedem (a,1) an und entfernt sich dann wieder von diesem Punkt bis ins Unendliche. Ich bleibe dabei, wenn man für jedes beliebige reelle c zeigen kann, dass der Graph zwei Punkte in größerem Abstand enthält, dann kann der Graph keine endliche Länge haben. Irgendwie habe ich da auch den Eindruck, dass man das vielleicht noch genauer begründen könnte, weiß aber nicht wie (siehe EDIT). Einen 3D Graph zeichnen kann man machen, wenn damit etwas besser sichtbar wird. Dabei geht aber der Eindruck der tatsächlichen Länge verloren. Ich habe das schon so gesehen, dass man für einzelne t=1, t=2, t=10, t=0.1, t=0.01 die entsprechenden Kurvenpunkte einzeichnet und beschriftet. Dann erhält man auch einen Eindruck vom Kurvenverlauf abhängig von t.

EDIT: LinkVariationsrechnung: eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten
Dafür muss die Kurve differenzierbar sein und das ist ja in dieser Aufgabe der Fall.



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