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Universität/Hochschule Fourier Koeffizienten Vorzeichenwechsel definieren sin cos
eatingpielater
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  Themenstart: 2021-05-10

Hallo sehr geehrte Forum-Mitglieder, ich muss bis zum 18. März eine Aufgabe lösen, die ich eigentlich bereits gelöst habe aber nun habe ich mich selbst verwirrt und finde irgendwie nicht mehr heraus. Hier ist die Aufgabe: Es sei $f$ eine reellwertige Funktion der Periode $2\pi$, die durch ihre Fourierreihe $$\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx)+b_nsin(nx))$$ dargestellt wird. Wenn $a_0 = 0$ gilt, dann hat $f$ mindestens zwei "Vorzeichenwechsel" im Intervall $[0, 2\pi[$. Wenn $a_0=a_1=b_1=0$ gilt, dann hat $f$ mindestens vier "Vorzeichenwechsel" in $[0,2\pi[$. Man definiere "Vorzeichenwechsel von $f$ an der Stelle $a$" und beweise die Behauptung. Wieviel Vorzeichenwechsel hat $f$ mindestens in [0,2\pi[, wenn $a_0=a_1=b_1=...=a_k=b_k=0$ gilt? (Ende der Aufgabenstellung) Ich habe die Aufgabe mehr oder weniger mit Induktion gelöst und für mein eigenes Verständnis vor allem mit den Integraldarstellungen der Koeffizienten gearbeitet, z.B. bei $a_0$ ist es ja klar, dass, wenn dieser FR Koeffizient Null ist, dann f mindestens zwei "Vorzeichenwechsel" hat, da f eine $2\pi$ periodische Funktion ist, und sonst würde das Integral nicht Null werden. ($a_0$ ist ja $\int_0^{2\pi}f(x)dx$ ) Da kann ich noch irgendwo sehen, was ein "Vorzeichenwechsel" ist. Der "Vorzeichenwechsel" definiert für mich an der Stelle (sehr unmathematisch ausgedrückt) wie viele Halbkreise sich in dem Intervall oberhalb und unterhalb der x-Achse befinden. In diesem Fall wäre es ja zwei, sowie bei der Sinus-Funktion. Aber ich habe das Gefühl ich denke falsch. Meint es mit "mind. 4 Vorzeichenwechsel", wie viele Vorzeichenwechsel es mind. gibt mit den zusätzlichen Vorzeichen, die von $a_1$ und $b_1$ (bzw. $sin$ und $cos$) dazukommen? Das wären ja jeweils zwei mehr, wenn man "Vorzeichenwechsel" so definiert, wie von + nach -. Und was mich eigentlich komplett verwirrt ist "Vorzeichenwechsel an der Stelle a". Ich weiß nicht, was ich darunter verstehen soll, mein Gehirn spuckt nur "Nullstelle" aus. Vielleicht weiß jemand weiter! Wie gesagt, die weitere Lösung der Aufgabe habe ich aber wie man die Vorzeichenwechsel definiert, bin ich mir sehr unsicher. Ich freue mich auf Rückmeldung! P.S. Mein Vortrag hat mit der punktweisen Konvergenz der Fourierreihen zu tun, den einzigen Zusammenhang, den ich hier sehe, ist, dass die FR gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Aber ich benutze die Konvergenz sonst gar nicht in meinem Beweis? Falls jemand da einen schönen Zusammenhang zwischen Lösung und meinem Thema sieht, würde ich mich auch freuen!


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