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Universität/Hochschule Abstiegsverfahren und Schrittweitenstrategien
xitsokx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-12

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Hallo,

Wie gehe ich hier vor?

Sei $J:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine quadratische Funktion mit $ J(x)=\frac{1}{2}\langle x,Qx\rangle+\langle c,x\rangle+\gamma$

wobei $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist symmetrisch und positivdefinit, $c\in\mathbb{R}^n$ und $\gamma\in\mathbb{R}$.

Sei  $x^k\in\mathbb{R}^n$ beliebig.

1. Finde die (exakte) Schrittweite $t^*_k$ in Richtung $d^k\in\mathbb{R}^n$, was eine beliebige Abstiegsrichtung ist von  $J$ in $x^k$,  d.h.
\[ t^*_k=\underset{t>0}{\operatorname{argmin}}  \, J(x^k + t d^k). \]
2. Sei die Abstiegsrichtung $d^k := -\nabla J(x^k)$ und $\{x^k\}$ die durch das Abstiegsverfahren erzeugte Folge mit der exakten Schrittweite $t^*_k$.

Zeige,  dass $x^{k+1} - x^k$ orthogonal ist zu  $x^{k+2} - x^{k+1}$ für alle $k\in \mathbb N$.


Vielen Dank im Voraus.
LG xitsokx
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

bei 1. musst du das Minimum von $J(x^k+td^k)$ bestimmen, was eine quadratische Funktion in $t$ ist.
\(\endgroup\)


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