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Lineare Algebra » Eigenwerte » Kleinsten Eigenwert einer von Variablen abhängigen Matrix abschätzen
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Universität/Hochschule Kleinsten Eigenwert einer von Variablen abhängigen Matrix abschätzen
Nonfa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-12


Hallo zusammen,

ich stehe gerade vor einer Aufgabe, bei der ich komplett auf dem Schlauch stehe.
Ich möchte zeigen, dass die tridiagonale, symmetrische \(((n-1) \times (n-1))\)-Matrix \(A\):
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
q_1(y_1+y_2)+q_2(2-y_1-y_2) & -(q_1y_2+q_2(1-y_2)) &  & 0 \\
-(q_1y_2+q_2(1-y_2)) & \ddots & \ddots & & \\

  & \ddots & \ddots & -(q_1y_{n-1}+q_2(1-y_{n-1}))\\
 0 &  & -(q_1y_{n-1}+q_2(1-y_{n-1}))& q_1(y_{n-1}+y_n)+q_2(2-y_{n-1}-y_n)\\
\end{array}
\right)
\] positiv semidefinit ist und damit \(x^TAx\) konvex.

Die Idee ist nun den kleinsten Rayleigh-Quotienten und damit den kleinsten Eigenwert zu berechnen/abzuschätzen und zu zeigen, dass dieser größer oder gleich Null ist. Mein Problem ist nun, dass in der Matrix \(A\) die ganzen Variablen auftauchen und ich es auch für allgemeines \(n\) zeigen muss. Dabei gelten für diese Variablen \(y_i \in\lbrace 0,1\rbrace\) und \(0\leq q_1 \leq q_2\).

Würden diese Variablen fixe Zahlen sein, so könnte ich das mit einer von-Mises Iteration lösen, aber so habe ich keine Idee. Da ich das gleiche auch noch für eine zweite kompliziertere Matrix machen muss, und dort auch definitiv die Methode mit dem Rayleigh-Quotienten verwenden möchte, wäre ich über jede Hilfe und jeden Ansatz von euch dankbar.

VG



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12


Hallo,

so richtig überblicke ich die Struktur nicht, aber geht was mit Gerschgorin-Kreisen?

Viele Grüße

Wally



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Nonfa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


Hallo Wally,

ja Gerschgorin-Kreise würden bei dieser Matrix funktionieren. Aber ich muss das wie gesagt auch auf eine zweite Matrix anwenden, die ganz ähnlich aussieht und da klappt es nicht mit den Gerschgorin-Kreisen, da diese zu grob abschätzen würden.
Den Tipp den ich bekommen hatte, war es mit dem Rayleigh-Quotienten zu versuchen und da wollte ich es erstmal bei der 'einfacheren' Matrix ausprobieren.

Um die Struktur der Matrix nochmal anders darzustellen kann man auch sagen, dass die Hauptdiagonale durch den Vektor
\[(q_1(y_1+y_2)+q_2(2 - y_1 - y_2), q_1(y_2+y_3) + q_2(2 - y_2 - y_3),\dots, q_1(y_{n-1}+y_n)+ q_2(2 - y_{n-1} - y_n)),\] und die erste obere und untere Nebendiagonale durch den Vektor
\[(-(q_1y_2 + q_2(1 - y_2)), -(q_1y_3 + q_2(1 - y_3)),\dots, -(q_1y_{n-1} + q_2(1 - y_{n-1})))\] beschrieben werden. Der Rest sind alles Nullen.



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