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Mathematik » Stochastik und Statistik » Median, Erwartungswert
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Universität/Hochschule Median, Erwartungswert
Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Hi,

Ich bin gerade bei dieser Aufgabe hängen geblieben:

Sei X eine reelle Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (\(\Omega, \mathcal{A}, P)\). Die Verteilung von X hat eine Dichte.
a) Bestimme \(t \in \IR \), so dass \(E[(X-t)^2]\) minimal ist.
b) Sei m ein Median. Zeige, dass für alle \(x \in \IR\) gilt: \[E[|X-m|] \leq E[|X-x|]\] c) Benutze die Ungleichung von Jensen um zu zeigen, dass: \[|E[X]-m| \leq \sqrt{Var[X]}\]
Ich hab versucht (a) so zu lösen: \(E[(X-t)^2]=E[X^2-2tX+t^2]=E[X^2]-E[2tX]\)
An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Hab ich hier überhaupt den richtigen Ansatz?

Bei (b) und (c) komme ich auch nicht weiter.

Ich freue mich über jeden Ansatz.


LG Majazakava



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16


Hallo Majazakava,

bei der a) würde ich es einfach mal mit standardmäßigen Mitteln aus der Analysis 1 versuchen. Wohin verschwindet in deiner Rechnung das \(t^2\)?

Was genau soll denn \(m\) in b) und c) sein?



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Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Hi,

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich hab völlig vergessen m zu definieren. m ist ein Median.

In a) dachte ich, dass eine Konstante keinen Erwartungswert haben kann. Kannst Du das bitte erklären?

Welche Mitteln aus Analysis I meinst Du?


LG Majazakava



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-17


Hallo,

von einer Konstanten ist der Erwartungswert die Konstante selbst. Es ist also $E[t^2]=t^2$.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-17


2021-05-17 10:16 - Majazakava in Beitrag No. 2 schreibt:
Welche Mitteln aus Analysis I meinst Du?

Nach t ableiten und Ableitung 0 setzen.



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-17


Moin, bei a) kann man auch den alten Bauerntrick nutzen:

$\operatorname{E}[(X-t)^2]=\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[X]-t)^2]=\cdots$

Auseinanderziehen und die "Methode des scharfen Hinsehens" anwenden.

vg Luis



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Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 23:42


Hey,

danke erstmal für Eure Hilfe, die a) habe ich hinbekommen.

Für die b) hab ich mir überlegt, die rechte Seite vielleicht nach \(x\) abzuleiten (so wie bei a) nach \(t\)), aber irgendwie bringt mich die Ableitung auch nicht wirklich weiter.
 
Könntet Ihr mir noch für b) und c) helfen?

LG Majazakava



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-19 01:03


Fangen wir erstmal mit b) an, denn für c) wirst du b) vermutlich brauchen.

Du musst in der Tat den Ausdruck \(E[|X-x|]\) nach \(x\) ableiten. Aber um das vernünftig machen zu können, musst du diesen Ausdruck erstmal umschreiben. Wie kann man denn diesen Ausdruck umschreiben, wenn man weiß, dass \(X\) eine Dichte hat?



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Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-19 17:57


Hi,

ich hab es jetzt noch mal versucht \(E[|X-x|]\) durch \(x\) abzuleiten und hab dann \( \frac{d}{dx} E[|X-x|]= P(X \le x)- P(X \ge x) \).
Ich weiß das für den Median m gilt \(P(X \le m) \ge \frac{1}{2} \) und \(P(X \ge m) \ge \frac{1}{2} \).

Wie benutze ich jetzt die beiden um zu zeigen, dass \(E[|X-m|] \le E[|X-x|]\)?

LG
Majazakava



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-19 19:26


2021-05-19 17:57 - Majazakava in Beitrag No. 8 schreibt:
Hi,

ich hab es jetzt noch mal versucht \(E[|X-x|]\) durch \(x\) abzuleiten und hab dann \( \frac{d}{dx} E[|X-x|]= P(X \le x)- P(X \ge x) \).


das ist soweit richtig. Jetzt musst du die Ableitung noch gleich \(0\) setzen, du suchst ja ein Minimum.



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