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Strukturen und Algebra » Gruppen » Beweis von der Untergruppe der Isometriegruppe
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Universität/Hochschule Beweis von der Untergruppe der Isometriegruppe
mavi99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Hallo liebe Leute :)

ich hab Probleme bei meinem Algebra Übungsblatt, kann mir da einer weiterhelfen?

Die Aufgabe lautet:

G ist die Isometriegruppe der Ebene mit der Verknüpfung o und P ist ein Punkt der Ebene und Element von R².

Zu Zeigen: Die Menge H = { f Element von G | f(P)=P} ist eine Untergruppe von G.

Was mir jetzt bekannt ist sind die Kriterien für eine Untergruppe (Abgeschlossenheit, Assoziativ, neutrales Element und inverses Element)aber das hilft mir nicht so richtig weiter.

Liebe Grüße und Danke :)  



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16

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Hallo mavi99,

wenn du die Kriterien für eine Untergruppe kennst, dann musst du ja nur noch überprüfen, ob sie erfüllt sind:

Abgeschlossenheit: Wenn $f$ und $g$ Isometrien sind, die $f(P)=P$ und $g(P)=P$ erfüllen, ist dann auch $f\circ g$ eine Isometrie, die $f\circ g(P)=P$ erfüllt?

neutrales Element: Welche Isometrie ist das neutrale Element? Erfüllt sie $e(P)=P$?

inverses Element: Wenn $f$ eine Isometrie mit $f(P)=P$ ist, wird dann auch von $f^{-1}$ die Bedingung $f^{-1}(P)=P$ erfüllt?

Assoziativität brauchst du nicht. Die Einschränkung einer Gruppenverknüpfung auf eine Teilmenge ist automatisch assoziativ.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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mavi99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


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Hallo mavi99,

wenn du die Kriterien für eine Untergruppe kennst, dann musst du ja nur noch überprüfen, ob sie erfüllt sind:

Abgeschlossenheit: Wenn $f$ und $g$ Isometrien sind, die $f(P)=P$ und $g(P)=P$ erfüllen, ist dann auch $f\circ g$ eine Isometrie, die $f\circ g(P)=P$ erfüllt?

neutrales Element: Welche Isometrie ist das neutrale Element? Erfüllt sie $e(P)=P$?

inverses Element: Wenn $f$ eine Isometrie mit $f(P)=P$ ist, wird dann auch von $f^{-1}$ die Bedingung $f^{-1}(P)=P$ erfüllt?

Assoziativität brauchst du nicht. Die Einschränkung einer Gruppenverknüpfung auf eine Teilmenge ist automatisch assoziativ.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)
Danke für die Hilfe :)



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