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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Endomorphismen
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Universität/Hochschule Endomorphismen
Pathfinder
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Hallo,

wir beschäftigen uns gerade mit Endomorphismen und da kommt mir die Frage auf: Ist nicht eigentlich jede Matrixmultiplikation ein Endomorphismus?(Man darf ja nur Matrizen ,die aus den selben Vektorräumen stammen miteinander im klassischen Sinne multiplizieren) Und wenn nein, bitte ich um ein Gegenbeispiel.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16


Im Kontext der linearen Algebra meint man mit Endomorphismus eine lineare Abbildung eines Vektorraums auf sich selbst.

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ und $\dim(V)=n\in \mathbb N$. Ein Endomorphismus von $V$ ist dann also eine lineare Abbildung $V\to V$. Sei nun $A\in K^{n\times n}$. Dann definiert
$$ \varphi_A\colon K^n\to K^n, \ v\mapsto Av
$$ eine lineare Abbildung und damit einen Endomorphismus von $K^n$, aber nicht unbedingt von $V$.

Es stellt sich jedoch heraus, dass $V\cong K^n$ und damit, dass jeder Endomorphismus $V\to V$ durch Wahl einer Basis einen Endomorphismus $K^n\to K^n$ induziert.

Um nochmal auf deine Frage zurückzukommen: Matrixmultiplikation ist in diesem Kontext nichts anderes als die Verkettung von linearen Abbildungen. Wenn $A,B\in K^{n\times n}$ und $\varphi_A,\varphi_B$ wie oben sind, dann haben wir
$$ \varphi_{AB}=\varphi_A \circ \varphi_B.
$$
LG Nico



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-16


Eine Matrix $\in K^{m\times n}$ beschreibt eine lineare Abbildung $K^n\to K^m$. Um einen Endomorphismus kann es sich also nur handeln, wenn $m=n$ und die Matrix somit quadratisch ist.

--zippy

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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