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Mathematik » Lineare Algebra » Infimum von (Mw+Pu)ᵀA(Mw+Pu) über u
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Universität/Hochschule Infimum von (Mw+Pu)ᵀA(Mw+Pu) über u
Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-17


Hallo,

sei $A$ eine symmetrisch positiv definite Matrix, $M$ und $P$ Matrizen mit vollem Rang, so dass jeder Vektor $v$ eindeutig zerlegbar ist in $v=Mw+Pu$ und die Matrix $[M,P]$ invertierbar ist.
$P(P^TAP)^{-1}P^TA$ ist eine Projektion.

Gilt unter diesen Bedingungen, dass $w^TM^TAP=0$?

Wenn ja, würde mir das den Rest der Frage beantworten. Ich sehe aber nicht, warum das $0$ ergeben sollte...

Es geht darum nachzuvollziehen, dass das Infimum von $(Mw+Pu)^TA(Mw+Pu)$ über $u$ Folgendes erfüllt: $Pu=-P(P^TAP)^{-1}P^TAMw$ (also $u=-(P^TAP)^{-1}P^TAMw$.)

Mein Ansatz ist die Ableitung des Terms zu bilden und sie gleich $0$ zu setzen.

Es gilt ja $(Mw+Pu)^TA(Mw+Pu)=w^TM^TAMw+w^TM^TAPu+u^TP^TAMw+u^TP^TAPu$.
Für die Ableitung nach $u$ erhalte ich:
$w^TM^TAP+P^TAMw+P^TAPu$.

Wenn wir das gleich $0$ setzen, kommen wir nicht auf das gewünschte Ergebnis für $u$... sondern

$0=w^TM^TAP+P^TAMw+P^TAPu$

$-P^TAPu=w^TM^TAP+P^TAMw$

$u=-(P^TAP)^{-1}(w^TM^TAP+P^TAMw)$

Wo liegt mein Fehler oder warum ist $(P^TAP)^{-1}(w^TM^TAP)=0$ bzw $w^TM^TAP=0$?





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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-17


2021-05-17 20:25 - Lea5619 im Themenstart schreibt:
Es gilt ja $(Mw+Pu)^TA(Mw+Pu)=w^TM^TAMw+w^TM^TAPu+u^TP^TAMw+u^TP^TAPu$.
Für die Ableitung nach $u$ erhalte ich:
$w^TM^TAP+P^TAMw+P^TAPu$.
Das stimmt nicht. Hier passen auch die Dimensionen nicht zusammen. Der Gradient ist $2(P^TAMw+P^TAPu)$.

Der Gradient von $b^Tu=u^Tb$ bezüglich $u$ ist in beiden Fällen $b$. Der Gradient von $u^Tu$ ist $2u$.
Betrachte dazu vielleicht die partiellen Ableitungen.



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