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Universität/Hochschule J Rand-Dichten f_x(x) und f_y(y) finden
PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18 13:05


Hallo :)

Ich habe folgende Dichte zweier Zufallsvariablen $X$, $Y$:

$$f_{XY}(x,y) = \begin{cases}cxy, &0\leq x\leq 2, 0 \leq y \leq x \\
0, &\text{sonst.}\end{cases}$$
Zunächst möchte ich die Konstante ermitteln, was ich über folgenden Ansatz gemacht habe:

$$\int_0^2 \int_0^x cxy \, dy dx = 1 \rightarrow c = \frac{1}{2}$$
Nun möchte ich $f_X(x)$ und $f_Y(y)$ bestimmen. Für $f_X(x)$ haben ich nun folgenden Weg eingeschlagen:

$$f_X(x) = \int_0^x f_{XY}(x,y) \, dy = \int_0^x 0.5xy \, dy= 0.25x^3, 0 \leq x \leq 2$$
Die Probe, ob dies eine Dichte ist habe ich gemacht indem ich $f_X(x)$ genommen habe und über die vollen Grenzen integriert habe. Es handelt sich hier um eine richtig ermittelte Dichte.

So jetzt wollte ich das auch für $f_Y(y)$ machen und hier fangen die Probleme an :) Mein Ansatz wieder ähnlich zu oben:

$$f_Y(y) = \int_0^2 f_{XY}(x,y) dx = y, 0\leq y \leq x$$
Das Problem ist, dass $f_Y(y)$ keine Dichte ist. Das sieht man etwa, wenn von 0 bis 2 über y integriert wird (dies ist nicht 1). Ich könnte mir vorstellen, dass ich bei $f_Y(y)$ einen Fehler in der Begrenzung gemacht habe, jedoch finde ich diesen nicht...

Ich freue mich auf kommende Beiträge :) Vielen Dank!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-18 13:32

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

2021-05-18 13:05 - PeterMeier123 im Themenstart schreibt:
$$f_Y(y) = \int_0^2 f_{XY}(x,y) dx = y, 0\leq y \leq x$$
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
du hast dich bei dem Integral verrechnet (es kommt nicht $y$ raus). Wenn du deine Rechnung zeigst, finden wir sicherlich den Fehler.
\(\endgroup\)


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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-18 13:33


Hi Peter, du musst dir immer zunaechst ueberlegen, wo "die Musik spielt". Das ist hier fuer $y\in[0,2]$ der Fall. Es folgt

\[f_Y(y) = \int_0^y f_{XY}(x,y) dx = \frac{y^3}{4},\quad 0\leq y \leq 2\,.\]
Mach dir eine Skizze!

vg Luis

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 13:55


Hey,

danke euch für die Antworten. Dazu gleich eine Frage. Also bei

$$f_X(x) = \int_0^x f_{XY}(x,y) \, dy = \int_0^x 0.5xy \, dy$$
sehe ich ein, dass die Grenzen für $y$ von $0$ bis $x$ gehen, da ja $0\leq y \leq x$ (steht ja schon direkt in der Definition von $f_{XY}(x,y)$ drin.

Dass jedoch für

$$f_Y(y) = \int_0^y f_{XY}(x,y) \, dx$$
die Grenze   $x = 0$ bis $y$ sind, sehe ich nicht. Für $f_Y(y)$ verwenden wir doch den vollen Gültigkeitsbereich von $x$ und dieser geht doch von 0 bis 2?!

Hier einmal ein passender Plot:



Also für $f_X(x)$ geht $dy$ von 0 bis x, das sehe/verstehe ich. Aber für $f_Y(y)$ geht $dx$ doch von 0 bis 2...?! :)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-18 13:59

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Die Grenzen von luis52 sind ebenfalls falsch. 😛

Gegeben sei ein festes $y\in[0,2]$. Für welche $x\in[0,2]$ gilt dann $f_{XY}(x,y)\not=0$?
\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 14:10


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-05-18 13:59 - Nuramon in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Grenzen von luis52 sind ebenfalls falsch. 😛

Gegeben sei ein festes $y\in[0,2]$. Für welche $x\in[0,2]$ gilt dann $f_{XY}(x,y)\not=0$?
\(\endgroup\)

Ab x= y bis 2 oder?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-18 14:12


Ja.



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 14:25


Ok, danke :)

Das heißt also für $f_Y(y)$ sind dann die Grenzen x=x bis 2, demzufolge:

$$f_Y(y) = \int_{x=y}^2 f_{XY}(x,y) \, dx = \int_y^2 \frac{xy}{2} \, dx$$
$$f_Y(y) = \begin{cases} -0.25y(y^2-4), &0<y<2 \\ 0, &sonst.\end{cases}$$
Die Probe ergibt 1, d.h. das ist eine Dichte :)

Vielen Dank für die Hilfen!

PS: Ist die Notation so gut?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-18 14:37


Passt so.



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-18 14:52


2021-05-18 13:59 - Nuramon in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Grenzen von luis52 sind ebenfalls falsch. 😛

Es handelte sich natuerlich nur um eine erste Approximation! 😉

vg Luis



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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 15:21


Eine Rückfrage möchte ich noch einschieben. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit für $P(0.5<X<1, Y\geq 1)$ haben möchte, würde ich einen Doppelintegralansatz wählen. Etwa in dieser Form:

$$\int_{0.5}^1 \int_1^2 0.5xy \,dy dx $$
ist das überhaupt so in Ordnung?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-18 15:24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Du musst über die Dichte, also $f_{XY}(x,y)$ integrieren. In dem für $P(0.5<X<1, Y\geq 1)$ relevanten Bereich hat diese nicht den Wert $\frac 12 xy$.
\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 15:27


Hey Nuramon,

danke für deine Antwort! OK, über die Dichte $f_{XY}(x,y)$ habe ich integriert, aber woher weißt du, dass die Dichte in diesem Bereich nicht den Wert $0.5xy$ hat?

Ist das damit zu begründen, dass wenn X im Intervall von 0.5 bis 1 liegt dann Y  nicht großer als 1 sein kann/darf?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-18 15:36

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wenn $0.5<X<1$ und $Y\geq 1$, dann ist automatisch $Y> X$. Für $y> x$ ist aber $f_{XY}(x,y)=0$.
\(\endgroup\)


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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-18 15:52


2021-05-18 15:21 - PeterMeier123 in Beitrag No. 10 schreibt:
Eine Rückfrage möchte ich noch einschieben. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit für $P(0.5<X<1, Y\geq 1)$ haben möchte, würde ich einen Doppelintegralansatz wählen. Etwa in dieser Form:

$$\int_{0.5}^1 \int_1^2 0.5xy \,dy dx $$
ist das überhaupt so in Ordnung?

Du musst das Integral

\[\int_{0.5}^1 \int_1^\infty 0.5xy\,\mathbf{1}_{[0,2]}(x)\mathbf{1}_{[0,x]}(y) \,dy dx=\int_{0.5}^1 \int_1^\infty 0.5xy\,\mathbf{1}_{(0.5,1)}(x)\mathbf{1}_{[0,x]}(y) \,dy dx\]
bestimmen.

vg Luis



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 16:14


Vielen Dank euch! Die Skizze zusammen mit euren Erläuterungen hat sehr geholfen!



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PeterMeier123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PeterMeier123 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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