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Universität/Hochschule J Haar-Raum
mathematikerlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18 16:15


Zu zeigen war:
Sei $C[a,b], \|\cdot\|_{\infty}$ und der Unterraum $U=[1,x,x^2,...,x^n] = \pi_n[a,b]$, der ein Haar-Raum ist (mit Dimension $n+1$), gegeben. Für ein $f\in C^{n+1}[a,b]$ mit $f^{n+1}(x)\neq 0$ für alle $x\in(a,b)$ ist dann auch $[1,x,x^2,...,x^n,f]$ ein Haar-Raum (mit Dimension $n+2$).

Grob gesagt war meine Idee einfach : (also für die Haar-Eigenschaft)
 angenommen es existiere ein Element $\hat{f}(x) = a_0+a_1 x + ... + a_n x^n + a_{n+1}f(x)$ in $[1,x,x^2,...,x^n,f]$ mit mehr als n+1-vielen Nullstellen und $\hat{f}$ ist ungleich der Nullfunktion. Dann habe ich den Satz von Rolle n+1-mal angewandt und erhalte, dass $\hat f^{n+1}(x) = a_{n+1}f^{n+1}(x)$ aber mindestens eine Nullstelle in $(a,b)$ haben müsste. da aber $f^{n+1}\neq 0$ in $(a,b)$ und $a_{n+1}\neq 0$(falls $a_{n+1}=0$ bekommen wir sofort einen Widerspruch, da ja U ein Haar-Raum ist und $a_0+a_1 x + ... + a_n x^n$ ein Element aus U ist) ergibt sich ein Widerspruch. Somit kann es kein Element in $[1,x,x^2,...,x^n,f]$ ungleich der Nullfunktion mit mehr als n+1 vielen Nullstellen in $[a,b]$ geben.

Ist das so korrekt? Machen die Randpunkte $\{a,b\}$ kein Problem für die Nullstellen von $\hat{f}^{n+1}(x)$ ? also theoretisch könnte es da ja Nullstellen geben, dann würde es nicht funktionieren...

Danke und lg!



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mathematikerlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 16:16


Edit: ach quatsch, die Ableitungen sind in den Randpunkten ja gar nicht definiert und somit kann es da erst recht keine Nullstellen geben, richtig?😁



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-18 17:43


Hallo mathematikerlein,

die \(n+1\)-Ableitung ist wegen \(f\in C^{n+1}[a,b]\) in den Randpunkten sehr wohl definiert (einseitig) und kann auch gleich \(0\) sein. Das spielt für Deine Argumentation aber keine Rolle, da Du nach dem Satz von Rolle auf jeden Fall ein \(x\in(a,b)\) mit \(\hat{f}^{(n+1)}(x)=0\) erhältst und \(f^{(n+1)}(x)\neq0\) nach Voraussetzung  (das Wort "Rolle" spielt hier eine Doppelrolle...).



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mathematikerlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 18:10


Hi sonnenschein96,

es kommt wohl darauf an, wie genau hier stetige Differenzierbarkeit auf einem Kompaktum definiert ist - mir ist sowas bisher noch nie untergekommen. Eigentlich kann es ja nur 2 Möglichkeiten geben - entweder es ist so gemeint, wie du sagst - mit einseitigen Grenzwerten als Ableitungen in den Randpunkten oder aber es ist schlicht gemeint, dass $f$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$ ist und sämtliche Ableitungen sind eben nur auf $(a,b)$ definiert und dort differenzierbar.
Aber stimmt, Rolle liefert ja ohnehin eine Nullstelle im Inneren!

Danke dir! Und gutes Wortspiel!

lg



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-18 19:06


Der Raum \(C^k[a,b]\) ist üblicherweise definiert als der Raum aller Funktionen \(f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\), die \(k\)-mal stetig differenzierbar sind, wobei Differenzierbarkeit in den Randpunkten einseitige Differenzierbarkeit bedeutet.

Du könntest natürlich stattdessen auch alle \(f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\) nehmen, die auf \((a,b)\) \(k\)-mal stetig differenzierbar sind und für die sich \(f^{(j)}\) für \(j=0,\ldots,k\) stetig auf \([a,b]\) fortsetzen lässt (so wird dann auch \(C^k(\overline{\Omega})\) mit \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\) offen definiert). Ich glaube, dass beide Definitionen äquivalent sind.


Für Deine Aufgabe würde es wahrscheinlich tatsächlich reichen, vorauszusetzen, dass \(f\) auf \([a,b]\) stetig ist und auf \((a,b)\) \(n+1\)-mal differenzierbar. Die Stetigkeit brauchst Du für die erste Anwendung von Rolle, bei den weiteren Anwendungen ergibt sich die Stetigkeit aus der Differenzierbarkeit im Inneren, da Du ja nur Teilintervalle im Inneren anschaust.



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mathematikerlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 19:20


Hi sonnenschein96,

Danke dir nochmals für deine Antwort. :)

Da eine weitere Teilaufgabe dann die Anwendung dieser Aufgabe ist, vermute ich tatsächlich, dass hier mit $C^{n+1}[a,b]$ letzteres gemeint ist - denn:

als Anwendung sollen wir zeigen, dass $[1,x,...,x^n,\sqrt{x}]$ auf $[a,b]=[0,1]$ ein Haar-Raum ist, aber keine Ableitung der Wurzelfunktion ist stetig geschweige denn differenzierbar auf $[0,1]$, weil die 0 Probleme macht. Dort lässt sich auch keine Ableitung stetig fortsetzen...daher kann dann eigentlich nur noch die letzte Möglichkeit in Frage kommen, sprich Stetigkeit von f in $[a,b]$ und dann jeweils Differenzierbarkeit in $(a,b)$, oder übersehe ich da bei einer der anderen von dir genannten Möglichkeiten etwas ?

Greets



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-18 19:40


Für die Lösung der Aufgabe reicht es denke ich wie gesagt vorauszusetzen, dass \(f\) stetig auf \([a,b]\) und \(n+1\)-mal differenzierbar auf \((a,b)\) ist. Dies wird von \(f(x)=\sqrt{x}\) auf \([0,1]\) erfüllt, da gibt es dann also kein Problem.

Trotzdem ist der Raum \(C^{n+1}[a,b]\) nicht definiert als die Menge der stetigen Funktionen \(f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\), die auf \((a,b)\) \(n+1\)-mal stetig differenzierbar sind, das wäre sehr unüblich! Ich weiß natürlich nicht was bei Dir im Skript/Buch steht, aber \(C^{n+1}[a,b]\) ist halt normalerweise so definiert, dass \(\sqrt{x}\notin C^{n+1}[0,1]\).



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mathematikerlein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18 20:12


Hi sonnenschein96,

es wurde bei uns im Skript nirgends definiert sondern wohl als bekannt vorausgesetzt, bisher kannte ich wie gesagt stetige Differenzierbarkeit nicht auf abgeschlossenen Intervallen.

Dann gehe ich davon aus, dass dies damit gemeint ist!

Danke dir.

Schönen Abend



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