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Universität/Hochschule J Stetigkeit Links-Rechtsstetigkeit Beweis
roberto_325
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  Themenstart: 2021-05-21

Hallo, ich soll das zeigen: \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) ist stetig in \(x_* \iff lim_{x\to x_ {*}^-}f(x)=f(x_*)=lim_{x\to x_ {*}^+}f(x)\) Das soll ich irgendwie zeigen, indem ich zwei Teilfolgen nehme mit dem gleichen Grenzwert... Leider weiß ich nicht wie das gehen soll. Gruß Robert


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-21

Hallo, wenn du dir z.B. die $\varepsilon$-$\delta$-Definitionen der Begriffe hinschreibst, wäre denke ich schnell klar warum das stimmt. Auch um eine Einsicht zu bekommen, warum das stimmt könnte das also zunächst mal helfen. Ansonsten was bedeutet es denn, dass so eine Funktion $f$ stetig ist in $x^*$, wenn du das Folgenkriterium benutzen willst? LG Nico


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roberto_325
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21

Hallo Nico, Es bedeutet ja, für jede Folge in \(\mathbb{R}\), wenn \(lim_{n\to \infty}x_n=x_*\), dann \(lim_{n\to \infty}f(x_n)=y_*\), wenn \(lim_{x \to x_*}f(x) = y_*\). Ich weiß nicht ob ich diese zwei Teilfolgen für die Hin oder Rückrichtung benötige. LG Robert


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-21

Hallo, Hinweis: Wenn du ein \ vor das lim machst, dann bekommst du $\lim$ anstatt $lim$. :) $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ ist stetig in $x_*\in \mathbb R$ genau dann, wenn $\lim_{x\to x_*}f(x)=f(x_*)$. Das wiederum bedeutet, dass für jede Folge reeller Zahlen $(x_n)$ mit $x_n\to x_*$ gilt $\lim_{n\to \infty} f(x_n)=f(x_*)$. Beginnen wir doch mal mit der Hinrichtung deiner Aussage. Wir nehmen an $f$ ist stetig und wollen dann zeigen, dass die beiden Grenzwerte übereinstimmen. Was müssen wir mit dieser Definition dann genau zeigen? LG Nico


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roberto_325
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21

Hi, das für die Folge \((x_n)\) mit \(x_n \to x_*\), \(\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x_*)\) auch für \(\lim_{x \to x_{*^+}}f(x_n)=f(x_*)\) und für \(\lim_{x \to x_{*^-}}f(x_n)=f(x_*)\) gilt? LG Robert


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-21

Beachte: Du sprichst von "die Folge". Das suggeriert, dass es nur eine gäbe. Genauer solltest du sagen "für jede Folge". Genau, das ist jetzt die Aussage die zu zeigen willst. Aber was bedeutet die Aussage denn jetzt konkret wenn man es mit der Charakterisierung über Folgen aufschreibt? Also was bedeutet dann z.B. $\lim_{x\to x_*^+} f(x)=f(x_*)$?


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roberto_325
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21

Irgendwie komme ich nicht drauf. Es bedeutet doch, dass für jede Folge,eingesetzt in f, der rechtsseitige Grenwert \(f(x_*)\) ist?


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-21

Wir haben bisher festgestellt, dass $\lim_{x\to x_*} f(x)=f(x_*)$ nichts anderes bedeutet, als: Für jede Folge $(x_n)$ mit $x_n\to x_*$ gilt $\lim_{n\to \infty} f(x_n)=f(x_*)$. Was bedeutet dann mit Folgen ausgedrückt $\lim_{x\to x_*^+} f(x)=f(x_*)$? LG Nico


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roberto_325
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21

Für jede Folge \(x_n\) mit \(x_n \to x_{*}^+\) gilt \(\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_*)\)?


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-21

Ist dir denn überhaupt bewusst, was man mit einem Ausdruck wie $\lim_{x\to x_*^+}$ meint? LG Nico


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roberto_325
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21

Glaube schon, man nähert sich von doch von rechts an die Stelle \(x_*\) an.


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nzimme10
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-21

Genau. In Folgen übersetzt bedeutet das dann, dass für alle Folgen $(x_n)$ mit $x_n\to x_*$ UND $x_n>x_*$ gilt $\lim_{n\to \infty} f(x_n)=f(x_*)$. Analog mit dem Linksseitigen Limes. Die Aussage die du eigentlich beweisen willst lautet in Folgen übersetzt dann so: Es gilt genau dann für alle Folgen $(x_n)$ mit $x_n\to x_*$ und $x_n\neq x_*$, dass $\lim_{n\to \infty} f(x_n)=f(x_*)$, wenn für alle Folgen $(a_n)$ mit $a_n\to x_*$ und $a_n> x_*$ und für alle Folgen $(b_n)$ mit $b_n\to x_*$ und $b_n< x_*$ gilt, dass $\lim_{n\to \infty} f(a_n)=f(x_*)$ bzw. $\lim_{n\to \infty} f(b_n)=f(x_*)$. LG Nico


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roberto_325
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-23

Hi, dann wäre doch die Hinrichtung trivial oder? Wenn man für \(a_n\) und für \(b_n\) jeweils \(x_n\) nimmt, ist es mit der Definition schon gezeigt?


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nzimme10
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-23

Richtig, die eine Richtung ist damit direkt klar, aber nicht mit deiner Begründung. Die Begründung ist einfach, dass es ja für alle Folgen $(x_n)$ mit $x_n\to x_*$ und $x_n\neq x_*$ gilt, also insbesondere auch für die Folgen mit $x_n > x_*$ und die Folgen mit $x_n < x_*$. Die interessante Richtung ist also die andere. Ich formuliere die noch zu zeigende Aussage hier nochmal etwas allgemeiner, da es letztendlich eine Aussage über Grenzwerte ist: $\textbf{Lemma.}$ Es seien $D\subseteq \mathbb R$ eine Menge, $x_0$ ein Häufungspunkt von $D$, $f\colon D\to \mathbb R$ eine Funktion sowie $\ell\in \mathbb R$. Wenn für alle Folgen $(x_n)\to x_0$ in $D$ mit $x_n< x_0$ und für alle Folgen $(y_n)\to x_0$ in $D$ mit $y_n >x_0$ gilt, dass $\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty} f(y_n)=\ell$, dann gilt $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\ell$. Also dann gilt für alle Folgen $(z_n)\to x_0$ mit $z_n\neq x_0$, dass $\lim\limits_{n\to \infty} f(z_n)=\ell$. Oder wieder als Aussage über Grenzwerte ohne auf Folgen zurückzugreifen: Falls $\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)=\ell$, dann ist auch $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\ell$. LG Nico


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Danke für die Antwort. Gilt dann für die Rückrichtung, dass \(D_{x_n}\cap D_{y_n} = \emptyset\)und \(D_{x_n}\cup D_{y_n} = D\), sodass man \(x_n\) und \(y_n\) als zwei Teilfolgen (mit dem selben Grenzwert \(x_0\)) von \(z_n\) nehmen kann und somit begründen kann, dass \(z_n\) auch gegen \(x_0\) konvergiert?


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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-05-23

Schau dir zunächst mal genau an was gegeben ist und was du zeigen musst. Schreib dir mal genau auf was gegeben ist und was die Definition von dem ist was du zeigen willst. Du hast eine beliebige Folge $(z_n)$ in $D$ mit $z_n\to x_0$ und $z_n \neq x_0$ gegeben und weißt, für alle Folgen $(x_n)\to x_0$ in $D$ mit $x_n< x_0$ und für alle Folgen $(y_n)\to x_0$ in $D$ mit $y_n >x_0$ gilt, dass $\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty} f(y_n)=\ell$. Mit diesen Informationen musst du nun irgendwie zeigen, dass $\lim\limits_{n\to \infty} f(z_n)=\ell$ gilt. LG Nico


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roberto_325
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-23

Meine Idee wäre es \((z_n)\) durch \((x_n)\) und \((y_n)\) auszudrücken, denn so hätte man dann doch die Definition \((z_n) \to \infty \) und \(z_n \neq x_0\) erfüllt oder? Also so etwas wie \((z_n) = x_n + y_n\) irgendwie so? Dadurch hat man doch dann \((z_n) \to \infty \) und \((z_n) < x_0\) wegen dem \((x_n)\) und \((z_n) \to \infty \) und \((z_n) > x_0\) wegen dem \((y_n)\), was dann insgesamt \(z_n \neq x_0\) entspricht. Gruß Robert


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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-05-24

Hallo, du hast erneut nicht meinen Hinweis beachtet. Die Folgen (!) $(z_n)$ kannst du nicht wählen! Die sind dir beliebig vorgegeben und alles was du weißt ist, dass sie gegen $x_0$ konvergieren und $z_n\neq x_0$ gilt. Du kannst also nicht einfach $(z_n)$ irgendwie wählen. Nochmal ein letztes mal der gut gemeinte Hinweis: Sieh dir zunächst ganz genau an, was gegeben ist und was zu zeigen ist: Du hast nun zu zeigen: Für jedes $\varepsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb N$ derart, dass für alle $n\geq N$ gilt, dass $|f(z_n)-\ell|<\varepsilon$. Sei also $\varepsilon >0$ vorgegeben. Da $(z_n)$ gegen $x_0$ konvergiert, konvergiert auch jede Teilfolge von $(z_n)$ gegen $x_0$. Seien daher $$ N^+:=\lbrace n\in \mathbb N \mid z_n > x_0\rbrace, \quad N^-:=\lbrace n\in \mathbb N \mid z_n < x_0\rbrace. $$ Da $z_n\neq x_0$ nach Voraussetzung gilt, ist $\mathbb N=N^+ \cup N^-$. Nach Voraussetzung gibt es außerdem $N_1 \in \mathbb N$ derart, dass für alle $n\in N^+$ mit $n\geq N_1$ gilt, dass $$ |f(z_n)-\ell|<\varepsilon. $$ Analog gibt es $N_2 \in \mathbb N$ derart, dass für alle $n\in N^-$ mit $n\geq N_2$ gilt, dass $$ |f(z_n)-\ell|<\varepsilon. $$ Für alle $n\in \mathbb N$ mit $n\geq \max(N_1,N_2)$ gilt entweder $n\in N^+$ oder $n\in N^-$ und daher $$ |f(z_n)-\ell|<\varepsilon. $$ Damit folgt nun die Behauptung. LG Nico


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roberto_325 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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