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Universität/Hochschule Notation Lebesgue-Integral
Gast123
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  Themenstart: 2021-05-21

Hallo, ich wundere mich über die verschiedenen Notationen von Lebesgue Integralen: $$ \int_{\mathcal{X}} f d\lambda\\ \int_{\mathcal{X}} f(x) d\lambda(x)\\ \int_{\mathcal{X}} f(x) \lambda(dx)\\ \int_{\mathcal{X}} f(x) dx $$ Und es gibt glaube ich sogar noch mehr. Was ich mich jetzt frage: Ist das wirklich nur eine Notationssache oder gibt es da einen tieferen Zusammenhang?Insbesondere frage ich mich wie Gleichung 3 und 4 die selben sein können, da in der Notation einfach das $\lambda$ fallen gelassen wird? Und noch eine ganz spezifische Frage aus meinem Wahrscheinlichkeitstheorie Skript: Sei $X:\Theta \rightarrow \mathbb{R}$ eine absolut stetige Zufallsvariable mit Radon-Nikodym-Dichte f bzgl $\lambda$. Gilt $\int |X|dP<\infty$, so folgt: $$ \mathbb{E}[X]=\int_{\Theta} X dP = \int_{\mathbb{R}} \text{id}\, dP^{X} = \int_{\mathbb{R}} (\text{id})\circ f\, \,d\lambda = \int_{\mathbb{R}} x f(x)\lambda(dx) $$ Wie genau kommt man auf die verschiedenen Gleichheiten. Ich glaube die zweite Gleichheit ist der Transformationssatz für Bildmaße aber bei Gleichheit 3 und 4 weiß ich nicht genau was da passiert.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-22

Hallo Gast123, \quoteon(2021-05-21 12:21 - Gast123 im Themenstart) Was ich mich jetzt frage: Ist das wirklich nur eine Notationssache oder gibt es da einen tieferen Zusammenhang?Insbesondere frage ich mich wie Gleichung 3 und 4 die selben sein können, da in der Notation einfach das $\lambda$ fallen gelassen wird? \quoteoff Das ist reine Notationssache, siehe auch hier. Das Maß lässt man in der Notation manchmal weg, wenn es sich um das Lebesgue-Maß handelt (vgl. Riemann-Integral), nicht aber bei allgemeinen Maßen. \quoteon(2021-05-21 12:21 - Gast123 im Themenstart) Wie genau kommt man auf die verschiedenen Gleichheiten. Ich glaube die zweite Gleichheit ist der Transformationssatz für Bildmaße aber bei Gleichheit 3 und 4 weiß ich nicht genau was da passiert. \quoteoff 1. Gleichheit: Definition des Erwartungwertes. 2. Gleichheit: Transformationssatz für Bildmaße. 3. Gleichheit: Integration bzgl. Maß mit Dichte, siehe hier. Allerdings sollte dort "\(\cdot\)" und nicht "\(\circ\)" stehen. 4. Gleichheit: Notation, da \(\operatorname{id}(x)=x\).


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Gast123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24

Hallo Sonnenschein, danke für die Antwort. Was ich allerdings etwas verwirrend finde, ist dass man das Lebesgue integral bzgl Lebesgue Maß manchmal genauso schreibt wie das Riemann Integral obwohl das Riemann Integral ja gar nicht mal immer existierten muss


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-24

Hallo, Ein Integral taucht selten einfach aus dem Nichts auf. Es wird immer einen entsprechenden Kontext geben, aus dem ersichtlich sein sollte, wie man das Integral zu interpretieren hat. Ich glaube Poincaré war es, der gesagt hat, dass Mathematik die Kunst wäre den selben Namen für verschiedene Dinge zu benutzen 😉 LG Nico


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Gast123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-27

Bzgl der 3.) Gleichung: Sehe ich das richtig, dass hier benutzt wird dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ absolut stetig bzgl des Lebesgue Maßes $\lambda$ ist, also $P<<\lambda$ und es daher die Radon Nikodym Ableitung $\frac{dP}{d\lambda}=f$ gibt und man dann schreiben kann: $$\int_{\mathcal{X}}g dP = \int_{\mathcal{X}}g \frac{dP}{d\lambda} d\lambda = \int_{\mathcal{X}}g f d\lambda $$ Warum sollte hier aber ein Mal-Zeichen sein und keine Verknüpfung von Funktionen? Zur 4.) Gleichung: Ist also $d\lambda = \lambda(dx)$? Und das ist nur Notationssache?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-27

\quoteon(2021-05-27 16:10 - Gast123 in Beitrag No. 4) Sehe ich das richtig, dass hier benutzt wird dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ absolut stetig bzgl des Lebesgue Maßes $\lambda$ ist, also $P<<\lambda$ und es daher die Radon Nikodym Ableitung $\frac{dP}{d\lambda}=f$ gibt und man dann schreiben kann: $$\int_{\mathcal{X}}g dP = \int_{\mathcal{X}}g \frac{dP}{d\lambda} d\lambda = \int_{\mathcal{X}}g f d\lambda $$ \quoteoff Nein, \(P\) lebt auf \(\Theta\), \(P^X\) und \(\lambda\) leben auf \(\mathbb{R}\). Es gilt \(P^X\ll\lambda\) und \(\frac{dP^X}{d\lambda}=f\). Es folgt \[\int_\Theta g(X)\,dP=\int_{\mathbb{R}}g\,dP^X=\int_{\mathbb{R}}g\frac{dP^X}{d\lambda}\,d\lambda=\int_{\mathbb{R}}gf\,d\lambda.\] \quoteon(2021-05-27 16:10 - Gast123 in Beitrag No. 4) Warum sollte hier aber ein Mal-Zeichen sein und keine Verknüpfung von Funktionen? \quoteoff Das ist halt die Rechenregel... Du siehst schon für \(g=\chi_A\), dass \[\int_{\mathbb{R}}\chi_A\,dP^X=P^X(A)=\int_Af\,d\lambda=\int_{\mathbb{R}}\chi_Af\,d\lambda.\] Für \(A=\mathbb{R}\) bedeutet dies z.B. \[\int_{\mathbb{R}}1\,dP^X=P^X(\mathbb{R})=\int_\mathbb{R}1\cdot f\,d\lambda=1,\] wie es ja für ein WMaß auch sein muss. Mit der Verknüpfung erhältst Du hingegen \[\int_\mathbb{R}1\circ f\,d\lambda=\int_\mathbb{R}1\,d\lambda=\lambda(\mathbb{R})=\infty,\] also etwas vollkommen falsches. \quoteon(2021-05-27 16:10 - Gast123 in Beitrag No. 4) Zur 4.) Gleichung: Ist also $d\lambda = \lambda(dx)$? Und das ist nur Notationssache? \quoteoff Das ist wie gesagt nur Notationssache.


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