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| Autor |
 Satz über implizit definierte Funktionen |
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
 |  Themenstart: 2021-05-21
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Hallo zusammen!
Bei folgender Aufgabe bin ich mir unsicher:
Betrachte die Abbildung
\[f: ]1,\infty[ \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2, \; \; f(x,y) = \begin{pmatrix}ln(x^2+y^2) + sin(y) \\ xe^{-xy} \end{pmatrix}\].
Zu zeigen ist: Es gibt offene Umgebungen $U \subset \mathbb{R}^2$ von $(1,0)$ und $V \subset \mathbb{R}^2$ von $f(1,0) = (0,1)$, sodass $f_U: U \to V$ eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion $g: V \to U$ besitzt. Ferner ist $g'(0,1)$ zu berechnen.
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Nun würde ich gerne den Satz über implizit definierte Funktionen benutzen, aber hier haben wir das Problem, dass die Dimension des Definitionsraumes mit dem des Zielraumes übereinstimmt, folglich wir einen Vektor $c = (a,b)$ mit $a \in \IR^0 = \emptyset$ und $b \in \IR^2$ haben. Dies ist ja etwas ungeschickt, da man ja so nicht einfach sagen kann, dass $f(c) = 0$ ist, da ja $c$ als Bestandteil die leere Menge hat?
Und zudem ist ja in diesem Falle sowieso nicht $f(1,0) = 0$, wenn ich jetzt mal die Tatsache mit der leeren Menge außer Acht lasse.
Ich bin euch für jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-22
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Hallo X3nion,
Du kannst hier den Satz von der Umkehrabbildung verwenden. Diesen kannst Du aus dem Satz über implizite Funktionen folgern, indem Du ihn auf die Funktion \(F(u,v):=u-f(v)\) (mit \(u\in\mathbb{R}^2\), \(v\in(1,\infty)\times\mathbb{R}\)) anwendest. Dies funktioniert natürlich auch in höheren Dimensionen.
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-22
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Hey sonnenschein96,
vielen Dank dir für deinen Denkanstoß! Ja den Satz hatten wir auch bewiesen, ich war nur irgendwie fixiert auf den Satz über implizit definierte Funktionen 😃
Wieso war dieser in diesem Falle nicht anwendbar, sondern nur das Korollar, der lokale Umkehrsatz quasi? Weil Dimension des Definitionsraumes dem des Bildraumes übereinstimmt?
Viele Grüße,
X3nion
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-22
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Da Du den Satz über die Umkehrabbildung aus dem Satz über implizite Funktionen folgern kannst, hast Du diesen ja hier im Prinzip indirekt angewendet.
Der Satz über implizite Funktionen liefert Dir, dass Du Nullstellenmenge einer Funktion lokal nach der einen Variable auflösen kannst. Das ist ja nicht das, was Du hier tun möchtest, zumindest nicht für \(f\).
Stattdessen betrachtest Du eben die Nullstellenmenge von \(F\), welche durch Paare \((u,v)\) mit \(u=f(v)\) gegeben ist. Löst Du dies nach \(v\) auf, so bekommst Du eine Funktion \(g\) mit \(v=g(u)\), welches gerade die Umkehrabbildung von \(f\) ist.
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