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Analysis » Funktionalanalysis » Stetige lineare Abbildung auf einem Banachraum mit Grenzwert Null
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Universität/Hochschule J Stetige lineare Abbildung auf einem Banachraum mit Grenzwert Null
Lupi98
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Dabei seit: 23.05.2021
Mitteilungen: 14
  Themenstart: 2021-05-24

Hallo liebe Mathe-Freunde! Wir arbeiten gerade in Funktionalanalysis viel mit stetigen linearen Abbildungen und da drängt sich mir eine Frage auf: Wenn ich eine stetige lineare Abbildung T auf einem Banachraum X habe (also die von X nach X geht) und ich den Limes k->unendlich nehme von T hoch k (k sei die k-fache Verkettung) und dafür für alle x aus X auf Null komme, ist dann automatisch der Limes von T hoch k auch Null...? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand da helfen könnte, das Thema bereitet mir noch etwas Kopfschmerzen... Liebe Grüße, Lucie :))


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sonnenschein96
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Mitteilungen: 507
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-24

Hallo Lucie, wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du wissen, ob aus \(\|T^kx\|_X\to0\) für alle \(x\in X\) auch stets \(\|T^k\|\to0\) folgt (Operatornorm). Dies ist nicht der Fall. (Die Umkehrung gilt aber schon, da \(\|T^k x\|_X\leq\|T^k\|\|x\|_X\)). Betrachte für \(T\) z.B. den Linksshift auf \(X=l^2\), d.h. \(T(x_1,x_2,x_3,\ldots):=(x_2,x_3,x_4,\ldots)\). Dann kannst Du Dir denke ich überlegen, dass \(\|T^k x\|_2\to 0\) für jedes \(x\in l^2\), aber \(\|T^k\|=1\) für alle \(k\in\mathbb{N}\).


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jlw
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-24

Falls X endlichdimensional ist, müsste die Aussage allerdings richtig sein. Wenn ich gerade nichts übersehe, lässt sich das mit Darstellungsmatrizen recht einfach beweisen.


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Lupi98
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.05.2021
Mitteilungen: 14
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30

Entschuldigt bitte die späte Antwort! Ihr habt mir sehr geholfen, vielen lieben Dank - jetzt ist es mir glaube ich klar! :))


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