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| Autor |
  Innere Punkte einer Teilmenge |
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WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
 |  Themenstart: 2021-05-24
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Hallo zusammen,
im Kontext des Optimierens unter Nebenbedingungen mit den Lagrange Multiplikatoren, habe ich mich gefragt, ob die Menge die durch die Nebenbedingungen definiert ist überhaupt innere Punkte enthält. Und wie man das zeigen kann.
Sei nun $M(g):=\{x\in\mathbb{R}^n\mid g(x)=0\}$, die Menge die durch die Nebenbedingungen definiert ist. Die Funktion $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ sei stetig differenzierbar und für deren Ableitung $Dg$ gilt $Dg(x)\neq\textbf{0}$ für alle $x\in M(g)$.
Angenommen $x\in M(g)$ wäre ein innerer Punkt, dann gibt es eine Umgebung $U(x)\subseteq M(g)$ und in dieser Umgebung gibt es einen Punkt $y\neq x$ der eine offene Verbindungsstrecke zu $x$ besitzt, die in $U(x)$ liegt. Eine offene Verbindungsstrecke besteht aus allen Punkten $z\in U(x)$ mit $z=y+t(x-y)$, wobei $0
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-24
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Hallo,
Wie genau meinst du das: "...überhaupt innere Punkte hat..."? Das klingt so, als müsste man innere Punkte haben um Extrema unter Nebenbedingungen zu finden.
Weiter solltest du die Frage nochmal etwas genauer Formulieren. Möchtest du prüfen ob die Menge $M$ in $\mathbb R^n$ innere Punkte besitzt oder betrachtest du $M$ versehen mit der Teilraumtopologie?
Falls du die erste Variante meinst, dann liefert dir der Satz über implizite Funktionen, dass $M$ eine Hyperfläche ist und daher in $\mathbb R^n$ keine inneren Punkte besitzt. Falls du die zweite Variante meinst, dann gilt nach Definition der Teilraumtopologie, dass $M$ in $M$ offen ist und folglich $\operatorname{int}(M)=M$ gilt. Wenn $M$ nicht gerade leer ist, dann besteht $M$ in diesem Fall also nur aus inneren Punkten.
LG Nico
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24
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Hallo Nico,
ich meine die erste von Dir genannte Variante - also auf $\mathbb{R}^n$ bezogen.
Was eine Hyperfläche ist und warum sie keine inneren Punkte hat, darüber wird bei uns nichts gesagt. Das sind Begriffe die bei uns in Ana2 und im Satz über implizite Funktionen, noch nicht vorkommen. Wahrscheinlich ist das Ganze in einem anderen Kontext viel einleuchtender.
Wir haben bei uns die Differenzierbarkeit nur in inneren Punkten definiert, daher wirkte das alles etwas komisch, wenn jetzt $M(g)$ keine inneren Punkte besitzt. Aber wahrscheinlich muss ich da den Beweis zum Optimieren unter Nebenbedingungen mit den Lagrange Multiplikatoren nochmal durchgehen, um zu sehen, dass das eigentlich egal ist.
Unabhängig davon, frage ich mich aber ob mein Beweis, so korrekt wäre.
viele Grüße
WagW
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-24
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Ich vermute, dass da bei dir noch ein Missverständnis vorliegt.
Wenn man Extrema von $f$ unter der Nebenbedingung $g=0$ sucht, dann meint man damit Punkte $a\in \mathbb R^n$ für die $g(a)=0$ und für alle $x\in \mathbb R^n$ mit $g(x)=0$ auch $f(x)\leq f(a)$ gilt (Maximum unter der NB $g=0$).
Für diese Definition benötigt man keine Differenzierbarkeit. Das Problem vom Auffinden solcher Extrema unter NB ist aber gerade, dass Differenzierbarkeit i.d.R. nur für innere Punkte erklärt ist und man solche Extrema folglich nicht mit den "normalen" Methoden auffinden kann. Hier kommen die Lagrange-Multiplikatoren ins Spiel, die das Problem mit Nebenbedingung auf eines ohne Nebenbedingung zurückführen, so dass man auf dieses neue Problem seine bekannten Methoden anwenden kann.
Eine Hyperfläche in $\mathbb R^n$ ist eine $n-1$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\mathbb R^n$. Anschaulich gesprochen ist also die Dimension von $M$ "zu klein", so dass jede offene Kugel des $\mathbb R^n$ niemals ganz in $M$ enthalten sein könnte.
LG Nico
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WagW
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
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Ah ja Danke genau dieses Missverständnis hatte ich noch 😁
Aber was/wie Du jetzt mit "eine Dimension zu klein" meinst verstehe ich nicht. Für mich ist $M(g)$ einfach eine Teilmenge von $\mathbb{R}^n$ und hat daher auch die Dimension $n$. Daher wollte ich das einfach nur mit unseren Methoden/Begriffen beweisen, dass $M(g)$ keine inneren Punkte hat.
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-25
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Der Satz über implizite Funktionen liefert eben, dass $M$ lokal um jeden Punkt aussieht wie der Graph einer Funktion von $n-1$ Variablen mit Werten in $\mathbb R$. Daher ist $M$ eine Fläche im $\mathbb R^n$.
Nimm dir einfach mal den Graphen von irgendeiner Funktion $\mathbb R^2\to \mathbb R$ her. Der ist eine Fläche (also etwas $2$-dimensionales) im $\mathbb R^3$. Da die offenen Kugeln des $\mathbb R^3$ auch $3$-dimensional sind, kann der Graph so einer Funktion keine solche Kugeln enthalten.
Man kann es aber auch so machen:
Angenommen $x\in M$ wäre ein innerer Punkt. Dann gibt es eine offene Kugel $B(x)$ um $x$ mit $B(x)\subseteq M$. Für alle $y\in B(x)$ gilt folglich $g(y)=0$. Um den Punkt $x$ herum muss die Funktion $g$ also konstant sein. Das ist ein Widerspruch dazu, dass $\operatorname{grad}(g)(x)\neq 0$ gilt.
LG Nico
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WagW
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
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Super Erklärung, Danke Dir Nico!
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-25
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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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