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  Hesse-Matrix falsch berechnet? Funktion positiv semidefinit? |
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dorfschmied
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2021
Mitteilungen: 52
 |  Themenstart: 2021-05-25
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Die Aufgabe war es die Nullstellen der ersten Ableitung zu bestimmen, die Hesse-Matrix zu bilden und zu bestimmen ob die Funktion in der Nullstelle pos. definit , neg. definit oder indefinit ist. Da meine Determinante im Punkt 0;0 jedoch zu 0 wird, ist die Funktion pos. semi definit!
Habe ich einen Fehler gemacht und R^2 => R nicht richtig verstanden? Oder ist es korrekt das die Funktion pos. semi definit ist?
f: R^2 => R
\( f(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{4} \)
\( f_{x}^{\prime}=2 x_{1} \quad 2 x_{1}=0 \Rightarrow x_{1}=0 \)
\( f_{x_{2}}^{\prime}=4 x_{2}^{3} \quad 4 x_{2}^{3}=0 \Rightarrow x_{2}=0 \)
Nullstelle (0;0)
Hesse- Matrix \( H_{f}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 12 x^{2}\end{array}\right) \)
\( \operatorname{det}\left(H_{g}\right)=2 \cdot 12 x^{2}=24 x^{2} \)
\( \ (0 ; 0) \Rightarrow \) pos. semidefinit
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-25
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Du hast die Funktion $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, \ f(x,y)=x^2+y^4$.
Es gilt $\operatorname{grad}(f)(x,y)=(2x,4y^3)^t.$ Wie du richtig festgestellt hast verschwindet dieser genau an der Stelle $(0,0)$.
Die Hesse-Matrix von $f$ in $(0,0)$ ist
$$
H_f(0,0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}.
$$
Diese ist also in der Tat nur positiv semi-definit. Du hast alles korrekt gemacht.
LG Nico
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10536
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
bis auf den fehlenden Index (der rechte untere Eintrag muss \(12x_2^2\) lauten) ist alles richtig. Also ja: im einzigen kritischen Punkt ist die Hessematrix positiv semidefinit.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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