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 Differenzierbarkeit von f(x,y)=g_1(x)g_2(y) in x=0 zeigen |
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FXJack
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Ich versuche mich gerade an der folgenden Aufgabe:
Seien \(g_1, g_2: ]-1,1[ \to \mathbb{R}\) differenzierbar in 0. Zeigen Sie, dass die Funktion
\(f: ]-1,1[^2 \to \mathbb{R}\),
\(f(x,y) = g_1(x)g_2(y)\)
differenzierbar ist in \(x = 0\).
Ich habe gedacht, dass ich zeigen kann, dass alle Richtungsableitungen in \(x = 0\) existieren und habe bisher:
Sei \(\vec{v} = \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)\) mit \(||\vec{v}|| = 1\). Dann gilt
\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h \cdot a, y + h \cdot b) - f(0,y)}{h}\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{g_1(0 + h \cdot a) g_2(y + h \cdot b) - g_1(0)g_2(y)}{h}\)
und jetzt?
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-29
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Hallo,
beachte, dass die Existenz der Richtungsableitungen nicht ausreicht um zu schließen, dass die Funktion differenzierbar ist.
Du weißt aber unmittelbar, dass $f$ partiell differenzierbar ist und kennst die Jacobi-Matrix.
LG Nico
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FXJack
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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Was muss ich dann machen?
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-29
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Hallo,
aus der Existenz der Richtungsableitungen folgt noch nicht die Differenzierbarkeit.
Hast du einen Kandidaten für die Ableitung? Die Ableitungsmatrix ist eine $1\times 2$-Matrix? Wie habt ihr Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen definiert? Damit sollte es direkt zu zeigen sein.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-29
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\quoteon(2021-05-29 18:41 - FXJack in Beitrag No. 2)
Was muss ich dann machen?
\quoteoff
Am besten zunächst erst nochmal überlegen was Differenzierbarkeit bedeutet, dass du auch weißt was zu zeigen ist.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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FXJack
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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Wir hatten
Eine Funktion \(f: U \to \mathbb{R}^m, U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen, heißt diefferenzierbar in \(a \in U\), falls \(\exists L \in \text{Lin}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\), so dass
\(\lim \limits_{|h| \to 0} \frac{f(a + h) - f(a) - L(h)}{|h|} = 0\)
\(\Leftrightarrow f(a + h) - (f(a) + L(h)) = o(|h|)\)
Aber damit kann ich nichts anfangen ...
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ochen
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-29
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Hallo nochmal,
die Matrixdarstellung von $L$ ist die Jacobi-Matrix oder auch Ableitungsmatrix.
In deinem Fall ist sie eine $1\times 2$-Matrix, in der (wie auch im allgemeinen Fall) die partiellen Ableitungen stattfinden.
Wie könnte sie also aussehen?
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FXJack
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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danke für die Tipps bisher. Ochen, meinst du so:
\(L(h) = \left(\begin{array}{c} g_1'(x)g_2(y) \\ g_1(x)g_2'(y) \end{array}\right)\)
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nzimme10
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-29
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\quoteon(2021-05-29 19:21 - FXJack in Beitrag No. 5)
Wir hatten
Eine Funktion \(f: U \to \mathbb{R}^m, U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen, heißt diefferenzierbar in \(a \in U\), falls \(\exists L \in \text{Lin}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\), so dass
\(\lim \limits_{|h| \to 0} \frac{f(a + h) - f(a) - L(h)}{|h|} = 0\)
\(\Leftrightarrow f(a + h) - (f(a) + L(h)) = o(|h|)\)
Aber damit kann ich nichts anfangen ...
\quoteoff
Was meint man denn in der eindimensionalen Analysis damit?
Wenn $f\colon I\to \mathbb R$ in $a\in I$ differenzierbar ist, dann meint man damit doch, dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(a,f(a))$ die beste lineare Approximation von $f$ in einer Umgebung der Stelle $a$ ist. Genauer bedeutet das, dass
$$
f(a+h)=f(a)+L(h)+\varphi(h),
$$
wobei $L\colon \mathbb R\to \mathbb R$ eine lineare Funktion ist und $\varphi$ den Fehler der Approximation angibt. Zu sagen, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, ist dann das selbe wie zu sagen, dass der Fehler $\varphi$ "schnell" gegen $0$ geht. Genauer verlangt man, dass $\varphi$ schneller als linear gegen $0$ konvergiert:
$$
\lim_{h\to 0} \frac{\varphi(h)}{h}=0.
$$
In obigem Limes konvergiert sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen $0$, aber die Aussage, dass der Grenzwert insgesamt $0$ ist bedeutet einfach, dass $\varphi$ schneller gegen $0$ konvergiert als $h$ für $h\to 0$. Man kann das auch nochmal umschreiben:
$$
f(a+h)-(f(a)+L(h))=\varphi(h).
$$
Die Aussage, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist bedeutet also, dass die Differenz von $f$ und der affin linearen Funktion $h\mapsto f(a)+L(h)$ schnell gegen $0$ konvergiert, $f$ sich also gut durch diese affine Funktion approximieren lässt in der Nähe von $a$.
Diese Definition kann man auch auf Funktionen mehrerer Veränderlicher Übertragen und meint damit im Prinzip genau das selbe:
Ist $U\subseteq \mathbb R^n$ offen und $f\colon U\to \mathbb R^m$ eine Funktion, so nennt man $f$ in $a\in U$ differenzierbar, falls es eine lineare Funktion $L\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ gibt, so dass
$$
f(a+h)-(f(a)+L(h))=\varphi(h)
$$
mit
$$
\lim_{h\to 0} \frac{\varphi(h)}{\lVert h\rVert}=0
$$
gilt. Anstatt jedes mal diesen Limes hinzuschreiben, schreibt man oft auch kurz $\varphi(h)=o(\lVert h\rVert)$ dafür und meint genau das, was in obiger Gleichung steht. Die Aussage ist also auch hier, dass sich $f$ in der Nähe von $a$ gut durch die affine Abbildung $h\mapsto f(a)+L(h)$ approximieren lässt. Im Falle der Existenz nennt man diese lineare Abbildung auch das Differential von $f$ in $a$ und schreibt $L=Df(a)$ oder auch $L=\mathrm df(a)$.
Jetzt ist diese Aussage noch etwas komisch: "Wenn es eine lineare Abbildung gibt..". Wie zeigt man denn, dass es so eine Abbildung gibt? Vor allem wie zeigt man, dass es keine gibt? Zum Glück ist das relativ einfach, denn es gibt nur einen einzigen Kandidaten für diese lineare Abbildung!
$\textbf{Satz.}$ Ist $f=(f_1,\dots,f_m)\colon U\to \mathbb R^m$ in $x_0\in U$ total differenzierbar, so sind alle Komponenten $(f_1,\dots,f_m)$ von $f$ in $x_0$ partiell differenzierbar und für die darstellende Matrix $A=(a_{ij})$ von $Df(x_0)$ gilt
$$
a_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0).
$$
$\textbf{Beweis.}$ Da $f$ in $x_0$ total differenzierbar ist, gilt also
$$
f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(\lVert h\rVert).
$$
Die $i$-te Komponente dieser Gleichung ist also
$$
f_i(x_0+h)=f_i(x_0)+\sum_{k=1}^n a_{ik}h_k +o(\lVert h\rVert).
$$
Es sei nun $r>0$ derart, dass für alle $t\in B_r(0)$ $x_0+te_j\in U$ gilt (Warum geht das?). Substitution $h:=te_j$ in obiger Gleichung liefert dann
$$
f_i(x_0+te_j)=f_i(x_0)+ta_{ij}+o(|t|),
$$
also
$$
\frac{f_i(x_0+te_j)-f_i(x_0)}{t}=a_{ij}+\frac{o(|t|)}{t}.
$$
Damit folgt also
$$
\lim_{t\to 0}\frac{f_i(x_0+te_j)-f_i(x_0)}{t}=a_{ij}.
$$
Also $f_i$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar in die $j$-te Koordinatenrichtung und es gilt $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)=a_{ij}$.
Um Differenzierbarkeit zu prüfen genügt es also zunächst die Jacobi-Matrix zu bestimmen und dann nachzuprüfen ob die Definition der Differenzierbarkeit mit der linearen Abbildung die (bzgl. der kanonischen Basen) durch die Jacobi-Matrix beschrieben wird erfüllt ist.
Ein Beispiel:
Sei $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ gegeben durch
\[
\begin{align*}
f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \sin \left(\frac{1}{x^2+y^2} \right), & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}.
\end{align*}
\]
$f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar, denn es ist
\[
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h^2} \right)=0
\end{align*}
\]
sowie
\[
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h^2} \right)=0.
\end{align*}
\]
Die Jacobi-Matrix von $f$ in $(0,0)$ ist somit
\[
\begin{align*}
J_f(0,0)=\begin{pmatrix}
0&0
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\]
Es gilt also für $h=(h_1,h_2)^t$
\[
\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(h_1,h_2)-f(0,0)-J_f(0,0)h}{\lVert h \rVert} &=\lim_{h \to 0} \frac{(h_1^2+h_2^2) \sin \left( \frac{1}{h_1^2+h_2^2}\right)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}\\
&=\lim_{h \to 0} \sqrt{h_1^2+h_2^2} \sin \left(\frac{1}{h_1^2+h_2^2} \right)\\
&= 0.
\end{align*}
\]
Somit ist $f$ in $(0,0)$ differenzierbar. Wäre der Limes ungleich Null gewesen so würde mir obiger Satz erlauben zu schließen, dass $f$ in $(0,0)$ nicht differenzierbar wäre.
LG Nico
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ochen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-30
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\quoteon(2021-05-29 19:38 - FXJack in Beitrag No. 7)
danke für die Tipps bisher. Ochen, meinst du so: ...
\quoteoff
Eigentlich meine ich die Transponierte:
\[L = \begin{bmatrix} g_1'(x)g_2(y) & g_1(x)g_2'(y) \end{bmatrix}\]
bzw. im Punkt $(0,0)$
\[L = \begin{bmatrix} g_1'(0)g_2(0) & g_1(0)g_2'(0) \end{bmatrix}.\]
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FXJack
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30
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bei mir ist es dann
\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h_1,y + h_2) - f(0,y) - J_f(0,y)h}{||h||}\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{g(h_1)g_2(y + h_2) - g(0)g(y) - J_f(0,y)h}{||h||}\)
besser?
und jetzt? Ich sehe leider nicht, wie das jetzt weiter geht.
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-30
|
Das ergibt keinen Sinn. $h=(h_1,h_2)^t$ ist hier ein Vektor, keine Zahl.
Also gut:
\[
\begin{align*}
\lim_{h\to 0} \frac{f(h_1,h_2)-f(0,0)-J_f(0,0)h}{\lVert h \rVert}=\lim_{h\to 0} \frac{g_1(h_1)g_2(h_2)-g_1(0)g_2(0)-g_1'(0)g_2(0)h_1-g_2'(0)g_1(0)h_2}{\lVert h \rVert}.
\end{align*}
\]
Mit diesem Ausdruck musst du arbeiten.
LG Nico
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FXJack
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30
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besser? Habe es jetzt geändert.
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-30
|
\quoteon(2021-05-30 13:31 - FXJack in Beitrag No. 12)
besser? Habe es jetzt geändert.
\quoteoff
Siehe mein vorherigen Beitrag. Dein Ausdruck stimmt so immer noch nicht:
Du möchtest doch Differenzierbarkeit in $(0,0)$ und nicht in $(0,y)$ prüfen, oder?
LG Nico
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FXJack
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30
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Ich dachte eigentlich in (0,y). Weil die Aufgabe sagt Differenzierbarkeit in x=0 und nicht (x,y)=(0,0).
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2021-05-30
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2021-05-30 13:54 - FXJack in Beitrag No. 14)
Ich dachte eigentlich in (0,y). Weil die Aufgabe sagt Differenzierbarkeit in x=0 und nicht (x,y)=(0,0).
\quoteoff
Hallo,
die Variablenwahl ist hier wohl \(x:=(x_1,x_2)\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.16, eingetragen 2021-05-30
|
Wenn die Aufgabe wirklich so formuliert ist, dann ist das eine schlechte Formulierung.
Wie du meiner langen Antwort oben entnehmen kannst macht das aber keinen Sinn von Differenzierbarkeit in $x=0$ zu sprechen, wenn man mit $x$ nur eine Koordinate meint.
Ich denke es ist Differenzierbarkeit in $(0,0)$ damit gemeint.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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FXJack
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Dabei seit: 18.05.2019
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30
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\quoteon(2021-05-30 13:55 - Diophant in Beitrag No. 15)
\quoteon(2021-05-30 13:54 - FXJack in Beitrag No. 14)
Ich dachte eigentlich in (0,y). Weil die Aufgabe sagt Differenzierbarkeit in x=0 und nicht (x,y)=(0,0).
\quoteoff
die Variablenwahl ist hier wohl \(x:=(x_1,x_2)\).
\quoteoff
Ja, das macht mehr Sinn. Ok, ich versuchs nochmal
\(\lim \limits_{h\to 0} \frac{g_1(h_1)g_2(h_2)-g_1(0)g_2(0)-g_1'(0)g_2(0)h_1-g_2'(0)g_1(0)h_2}{||h||}\)
\(= \lim \limits_{h\to 0} \frac{g_1(h_1)g_2(h_2)}{||h||} - \lim \limits_{h\to 0} \frac{g_1(0)g_2(0)}{||h||} - \lim \limits_{h\to 0} \frac{g_1'(0)g_2(0)h_1}{||h||} - \lim \limits_{h\to 0} \frac{g_2'(0)g_1(0)h_2}{||h||}\)
Kann ich jetzt sagen, dass alle diese Limits existieren, weil entweger g differenzierbar oder nicht von h abhängig?
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nzimme10
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| Beitrag No.18, eingetragen 2021-05-30
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\quoteon(2021-05-30 14:15 - FXJack in Beitrag No. 17)
Kann ich jetzt sagen, dass alle diese Limits existieren, weil entweger g differenzierbar oder nicht von h abhängig?
\quoteoff
Nein, ganz so leicht ist es leider nicht.
LG Nico
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FXJack
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Dabei seit: 18.05.2019
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30
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\quoteon(2021-05-30 14:30 - nzimme10 in Beitrag No. 18)
\quoteon(2021-05-30 14:15 - FXJack in Beitrag No. 17)
Kann ich jetzt sagen, dass alle diese Limits existieren, weil entweger g differenzierbar oder nicht von h abhängig?
\quoteoff
Nein, ganz so leicht ist es leider nicht.
\quoteoff
War die Idee den Limes aufzuteilen in mehrere wenigstens richtig? Ich weiß nicht wirklich wie ich weiter machen soll.
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ochen
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.20, eingetragen 2021-06-01
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Hallo,
es so aufzuteilen ist tatsächlich keine gute Idee. Du musst irgendwie nutzen, dass
\[
\lim_{h_1\to 0}\frac{f(h_1)-(f(0)+h_1f'(0))}{h_1}=0\quad \text{und}\quad \lim_{h_2\to 0}\frac{g(h_2)-(g(0)+h_2g'(0))}{h_2}=0
\]
gilt. Beachte auch, dass $|h_1|\leq \|h\|$.
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FXJack
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02
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Ich hab jetzt
\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(h_1, h_2) - f(0, 0) - J_f(0, 0)h}{||h||}\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{g_1(h_1) g_2(h_2) - g_1(0) g_2(0) - g'_1(0) g_2(0) h_1 - g_1(0) g'_2(0) h_2}{||h||}\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{\overbrace{(g_1(0) + g'_1(0)h_1 + o(h_1))}^{g_1(h_1)} \overbrace{(g_2(0) + g'_2(0)h_2 + o(h_2))}^{g_2(h_2)} - g_1(0) g_2(0) - g'_1(0) g_2(0) h_1 - g_1(0) g'_2(0) h_2}{||h||},\)
nach der Definition von Differenzierbarkeit für \(g_1\) und \(g_2\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{g_1(0)o(h_2) + g'_1(0)g'_2(0)h_1 h_2+ g'_1(0)h_1 o(h_2) + g_2(0)o(h_1) + g'_2(0)h_2 o(h_1) + o(h_1)o(h_2)}{||h||}\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{\overbrace{(g'_1(0)h_1 + o(h_1))}^{\in o(h)} \overbrace{(g'_2(0)h_2 + o(h_2))}^{\in o(h)} + \overbrace{g_1(0)o(h_2)}^{\in o(h)} + \overbrace{g_2(0)o(h_1)}^{\in o(h)}}{||h||}\)
\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac{o(h)}{||h||}\)
\(= 0\)
Passt das so?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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