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  Ableitung von Summen |
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S3bi
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 |  Themenstart: 2021-06-02
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Hallo zusammen,
wir machen gerade Legendere Transformation und sollen dazu ein paar Beispiele rechnen.
Dabei ist ein Teil, dass man eine Summe ableiten soll, aber irgendwie hark es bei mir an der Tatsache, dass wenn 2 Indizes gleich sind, dass dann der Faktor 2 dazu käme, aber ich nicht weiß, wie ich das unterbringe.
Also wir haben \(f_4({x_i}) = A_{lm}x_l x_m\), wobei \(A_{lm}\) symmetrisch und positiv definit ist. (mit einsteinscher Summenkonvention).
Und ein anderes Beispiel, bei dem ich die Ableitung für die Legendre Transformation nicht nach u umstellen kann ist: \(f_5({x_i}) = e^{\sqrt{\sum_i x_i^2}}\). Da müsste man die Ableitung nach \(x_i(u) = ....\) umstellen, aber irgendwie klappt das nicht. Habe als Ableitung: \(f`(x) = u = e^{\sqrt{\sum_i x_i^2}} \cdot \frac{x_i}{\sqrt{\sum_i x_i^2}}\)
Schöne Grüße
S3bi
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4407
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-02
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\quoteon(2021-06-02 09:13 - S3bi im Themenstart)
aber irgendwie hark es bei mir an der Tatsache, dass wenn 2 Indizes gleich sind, dass dann der Faktor 2 dazu käme, aber ich nicht weiß, wie ich das unterbringe.
\quoteoff
Du musst dich darum gar nicht explizit kümmern, dafür sorgen schon die Ableitungsregeln (denn auf die Ableitung von $x^2$ kommt man auch, indem man $x\cdot x$ nach der Produktregel ableitet).
\quoteon(2021-06-02 09:13 - S3bi im Themenstart)
Also wir haben \(f_4({x_i}) = A_{lm}x_l x_m\), wobei \(A_{lm}\) symmetrisch und positiv definit ist.
\quoteoff
Hier erhält man$$
{\partial\over\partial x_i}\bigl[A_{lm}\,x_l\,x_m\bigr] =
A_{lm}\,{\partial x_l\over\partial x_i}\,x_m +
A_{lm}\,x_l\,{\partial x_m\over\partial x_i} =
A_{im}\,x_m + A_{li}\,x_l = 2\,A_{im}\,x_m \;.
$$Die Symmetrie von $A$ spielt nur im letzten Schritt eine Rolle.
--zippy
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S3bi
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02
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Hi Zippy,
kannst du mir erklären, wie es zu den Indizes kommt in den letzten beiden Schritten?
Warum kann ich \(\frac{\partial x_l}{\partial x_i}\) schreiben und es kommt nicht 0 raus?
Schöne Grüße
S3bi
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-02
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\quoteon(2021-06-02 17:02 - S3bi in
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S3bi
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-04
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Hey, danke für die Antwort. Kannst du mir das mit der Symmetrie noch einmal erklären?
Schöne Grüße
S3bi
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-04
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\quoteon(2021-06-04 17:21 - S3bi in Beitrag No. 4)
Kannst du mir das mit der Symmetrie noch einmal erklären?
\quoteoff
Als Ergebnis für eine beliebige Matrix $A$ haben wir$$
A_{im}\,x_m + A_{li}\,x_l = (A_{im}+A_{mi})\,x_m
$$erhalten. Wenn nun $A$ symmetrisch ist, ergibt sich für den Inhalt der Klammer einfach$$
A_{im}+A_{mi} = A_{im}+A_{im} = 2\,A_{im} \;.$$
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