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Lineare Algebra » Vektorräume » Äquivalenzklassen bestimmen
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Universität/Hochschule J Äquivalenzklassen bestimmen
hannah2frun
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.06.2021
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2021-06-02

Hey ich sitze momentan an einer Aufgabe und komme da nicht so richtig weiter, weil diese Äquivalenzklassen einfach nicht in meinen Kopf wollen. Hier ist die Aufgabe: Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U \subsetequal\V ein Unterraum von V . Weiter sei die Relation R :=menge((v, w) \el\V × V| v-w \el\U). (a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf V definiert. (b) Für K = \IR, V = \IR^2 und U=menge((x, y)\el\ \IR^2|x=2y) bestimmen Sie die Äquivalenzklassen[(0, 0)]_R, [(1, 0)]_R und [(1, 3)]_R a) habe ich bereits gelöst, nur bei b) bockiert irgendwie mein Kopf. Da blicke ich gar nicht durch. Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar Liebe Grüße Hannah


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-02

Hallo und willkommen hier im Forum! Mache dir einmal speziell im Fall b) klar, wie dieser Unterraum hier (geometrisch) aussieht. Dann wird der Sinn der Aufgabe vielleicht klar, und damit ist sie dann ein Kinderspiel. Es geht also hier wirklich nur darum, die Aufgabe richtig zu interpretieren. Gruß, Diophant


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hannah2frun
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 5
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02

Hallo Diophant, danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich hätte jetzt vielleicht doch eine Idee. Sei also v=(0,0) und w=(a,b). Dann folgt: v-w=(0-a,0-b)=(-a,-b). Damit dann -a=2*-b gilt und somit v-w\el U ist, folgt: [(0,0)]_R={(a, 1/2 a)}. Stimmt das so? LG Hannah


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-02

\quoteon(2021-06-02 17:18 - hannah2frun in Beitrag No. 2) Hallo Dophian \quoteoff 😁😂 Entschuldigung, das klingt nur lustig!🙂 Die Äquivalenzklassen bestehen sicher nicht nur aus einem einzigen Element. Nimm dir doch nochmal Diophant's Tipp zu Herzen. Wir befinden uns hier in $\mathbb R^2$ und den können wir uns zum Glück noch grafisch veranschaulichen! :) Überlege dir also mal, wie das $U$ in deiner Aufgabe im $\mathbb R^2$ genau aussieht. Wie Diophant schon gesagt hat, klärt sich der Rest der Aufgabe dann von selbst. LG Nico


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Noch ein Zusatz: bringe die Aufgabe einmal in einen gedanklichen Zusammenhang mit dem, was du in der Schule als 'Richtungsvektor' kennengelernt hast... Die Äquivalenzklasse \([(0,0)]_R\) stimmt (jetzt?) übrigens. Da solltest du vielleicht einfach noch \(a\in\IR\) erwähnen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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hannah2frun
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02

Hey, erstmal sorry für den Namensdreher, das war mein Fehler😖 Also \(U\) kann ich durch die Gerade \(y=0,5x\) darstellen. \((0,0)\) liegt ja jetzt bereits auf der Geraden. Aber was sagt mir das für die Relation R. Das verstehe ich einfach nicht. Wenn ich Äquivalenzklassen generell richtig verstanden habe, suche ich doch alle \(v \in V\) sodass \(xRv\) erfüllt ist. Also suche ich alle \(v\) für die gilt: \((0,0)-v\in U\). Das ist so mein Verständnis davon :/ [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-02

Richtig, das $U$ ist so eine Gerade. Was deine Relation genau macht ist nun alle Punkte der Ebene als "gleich" zu betrachten, wenn ihr Differenzvektor auf dieser Geraden liegt. Nimm dir mal zwei beliebige Punkte $v,w\in \mathbb R^2$ her. Wann liegt deren Differenzvektor auf dieser Geraden (ist parallel zu dieser Geraden)? Zeichne es dir am besten mal auf! LG Nico


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wie gesagt: Stichwort Richtungsvektoren. Schau dir einmal zwei Punkte auf der Geraden, sagen wir mal: \(y=\frac{1}{2}x+157\) an. Was gilt dann für die Differenz \(v-w\)? ... \quoteon(2021-06-02 17:36 - hannah2frun in Beitrag No. 5) erstmal sorry für den Namensdreher, das war mein Fehler😖 \quoteoff Immerhin war es mal eine neue Variante. 😂 (Das ist übrigens mein Namensgeber.) Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)


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hannah2frun
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02

Also wären die folgenden Äquivalenzklassen so richtig? \([(0,0)]_R=\{(a,\frac{1}{2}a)\}\), mit \(a\in \mathbb{R}\) \([(1,0)]_R=\{(a,\frac{1}{2}(a-1))\}\), mit \(a\in \mathbb{R}\) \([(1,3)]_R=\{(a,\frac{a}{2}+2,5)\}\), mit \(a\in \mathbb{R}\) Ich bin jetzt so vorgegangen, wie bei der Berechnung für \((0,0)\), die anscheinend schon richtig sein soll. Das mit der Geraden habe ich jetzt glaube ich auch verstanden :) LG Hannah [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-02

Hallo, ja, das passt jetzt. 👍 Gruß, Diophant


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hannah2frun
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02

Super, vielen Dank für die schnelle Hilfe :)


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