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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Konvergenzpunkte Fourier-Reihe
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Universität/Hochschule Konvergenzpunkte Fourier-Reihe
X3nion
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  Themenstart: 2021-06-04

Hallo zusammen, es sei die Funktion $f: \IR \to \IR$ mit $f(x) = x^4, \; \; x \in ]-\pi, \pi]$ (sonst periodisch fortgesetzt) gegeben. Betrachte die Fourier-Reihen-Darstellung $\frac{1}{2}a_0 + \sum \limits_{k=1}^{\infty}(a_k cos(kx) + b_k sin(kx)), \; \; x \in \IR$ von $f$. In Aufgabenteil b) stehen die Fourier-Koeffizienten $a_0 = \frac{2\pi^4}{5}$, $a_k = (-1)^k \left(\frac{8 \pi^2}{k^2} - \frac{48}{k^4}\right)$, $b_k = 0$, für alle $k \in \IN$, welche natürlich zu berechnen sind und ich auch schon berechnet habe. Aufgabenteil a) sieht vor, diejenigen $x \in \IR$ herauszufinden, für welche die Fourier-Reihe gegen $f$ konvergiert. Wie könnte ich dies anstellen? Ich bin euch wie immer für jede Hilfe sehr dankbar! Viele Grüße, X3nion

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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-04

Hallo X3nion, hier nochmal in lesbar: \quoteon(2021-06-04 14:33 - X3nion im Themenstart) Betrachte die Fourier-Reihen-Darstellung $\frac{1}{2}a_0 + \sum \limits_{k=1}^{\infty}(a_k cos(kx) + b_k sin(kx)), \; \; x \in \IR$ von $f$. In Aufgabenteil b) stehen die Fourier-Koeffizienten $a_0 = \frac{2\pi^4}{5}$, $a_k = (-1)^k \left(\frac{8 \pi^2}{k^2} - \frac{48}{k^4}\right)$, $b_k = 0$, für alle $k \in \IN$, welche natürlich zu berechnen sind und ich auch schon berechnet habe. Aufgabenteil a) sieht vor, diejenigen $x \in \IR$ herauszufinden, für welche die Fourier-Reihe gegen $f$ konvergiert. \quoteoff Die Fourierreihe von \(f\) wird im Punkt \(x\in\mathbb{R}\) gegen \(\frac{f(x+)+f(x-)}{2}\) konvergieren, siehe hier bzw. hier. Da \(f\) stetig ist, konvergiert die Fourierreihe also in jedem Punkt gegen \(f\).

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