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Autor |
Konvergenzpunkte Fourier-Reihe |
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X3nion
Wenig Aktiv  Dabei seit: 17.04.2014 Mitteilungen: 1051
 | Themenstart: 2021-06-04
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Hallo zusammen,
es sei die Funktion $f: \IR \to \IR$ mit
$f(x) = x^4, \; \; x \in ]-\pi, \pi]$ (sonst periodisch fortgesetzt)
gegeben. Betrachte die Fourier-Reihen-Darstellung
$\frac{1}{2}a_0 + \sum \limits_{k=1}^{\infty}(a_k cos(kx) + b_k sin(kx)), \; \; x \in \IR$
von $f$.
In Aufgabenteil b) stehen die Fourier-Koeffizienten
$a_0 = \frac{2\pi^4}{5}$,
$a_k = (-1)^k \left(\frac{8 \pi^2}{k^2} - \frac{48}{k^4}\right)$,
$b_k = 0$,
für alle $k \in \IN$,
welche natürlich zu berechnen sind und ich auch schon berechnet habe.
Aufgabenteil a) sieht vor, diejenigen $x \in \IR$ herauszufinden, für welche die Fourier-Reihe gegen $f$ konvergiert.
Wie könnte ich dies anstellen?
Ich bin euch wie immer für jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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Profil
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sonnenschein96
Senior  Dabei seit: 26.04.2020 Mitteilungen: 682
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-04
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Hallo X3nion,
hier nochmal in lesbar:
\quoteon(2021-06-04 14:33 - X3nion im Themenstart)
Betrachte die Fourier-Reihen-Darstellung
$\frac{1}{2}a_0 + \sum \limits_{k=1}^{\infty}(a_k cos(kx) + b_k sin(kx)), \; \; x \in \IR$
von $f$.
In Aufgabenteil b) stehen die Fourier-Koeffizienten
$a_0 = \frac{2\pi^4}{5}$,
$a_k = (-1)^k \left(\frac{8 \pi^2}{k^2} - \frac{48}{k^4}\right)$,
$b_k = 0$,
für alle $k \in \IN$,
welche natürlich zu berechnen sind und ich auch schon berechnet habe.
Aufgabenteil a) sieht vor, diejenigen $x \in \IR$ herauszufinden, für welche die Fourier-Reihe gegen $f$ konvergiert.
\quoteoff
Die Fourierreihe von \(f\) wird im Punkt \(x\in\mathbb{R}\) gegen \(\frac{f(x+)+f(x-)}{2}\) konvergieren, siehe hier bzw. hier. Da \(f\) stetig ist, konvergiert die Fourierreihe also in jedem Punkt gegen \(f\).
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